C为以=5正向，以，则k=

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，涉及判断奇点位置及计算留数。

解题核心思路：

1. 确定积分路径包围的奇点：被积函数的奇点为分母为零的点，需判断这些奇点是否在积分路径内。
2. 计算留数：对路径内的奇点，利用简单极点的留数公式计算。
3. 应用留数定理：积分结果为 $2\pi i$ 乘以路径内所有奇点的留数之和。

破题关键点：

• 奇点位置判断：积分路径为以原点为中心、半径 $5$ 的正向圆，需计算奇点到原点的距离。
• 留数计算：针对简单极点，直接提取分式前的系数。

1. 确定积分路径包围的奇点

被积函数为 $f(z) = \dfrac{4}{z-6} + \dfrac{3}{z+2i}$，其奇点为 $z=6$ 和 $z=-2i$：

• $z=6$：到原点的距离为 $6$，大于积分路径半径 $5$，位于路径外。
• $z=-2i$：到原点的距离为 $2$，小于 $5$，位于路径内。

因此，只有奇点 $z=-2i$ 在积分路径内。

2. 计算奇点 $z=-2i$ 处的留数

对于分式 $\dfrac{3}{z+2i}$，其在 $z=-2i$ 处为简单极点，留数为分式前的系数：
$\text{Res}(f, -2i) = 3$

3. 应用留数定理

根据留数定理，积分结果为：
$\int_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, -2i) = 2\pi i \cdot 3 = 6\pi i$
题目中等式为 $\int_C f(z) \, dz = k\pi$，对比得：
$k\pi = 6\pi \quad \Rightarrow \quad k = 6$