计算二重积分 ∬ D xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成．

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，涉及极坐标变换、积分区域的确定以及对称性在积分中的应用。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：将区域D用极坐标表示，明确θ和r的范围。
2. 转换被积函数：将直角坐标系下的xy转换为极坐标形式，并乘以雅可比行列式r。
3. 简化积分表达式：通过变量代换（如u=cosθ）和多项式展开，将复杂积分转化为易计算的多项式积分。
4. 利用对称性：结合积分区间的对称性，简化计算过程。

破题关键点：

• 正确转换极坐标：注意θ的范围（0到π）和r的范围（0到1+cosθ）。
• 变量代换：通过u=cosθ简化积分表达式。
• 奇偶函数性质：利用对称区间上奇偶函数的积分特性，减少计算量。

步骤1：确定积分区域与转换极坐标

区域D由极坐标方程r=1+cosθ（0≤θ≤π）和极轴围成，故极坐标表示为：
$D = \{ (r, \theta) \mid 0 \leq \theta \leq \pi, \ 0 \leq r \leq 1+\cos\theta \}$

步骤2：转换被积函数与雅可比行列式

在极坐标下，x=r cosθ，y=r sinθ，面积元素dσ=r dr dθ。原积分转换为：
$\iint_D xy \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1+\cos\theta} (r \cos\theta)(r \sin\theta) \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1+\cos\theta} r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta$

步骤3：计算r的积分

对r积分：
$\int_{0}^{1+\cos\theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1+\cos\theta} = \frac{(1+\cos\theta)^4}{4}$
代入原积分得：
$\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \cos\theta \sin\theta (1+\cos\theta)^4 \, d\theta$

步骤4：变量代换与积分简化

令$u = \cos\theta$，则$du = -\sin\theta \, d\theta$，积分上下限变为$u=1$到$u=-1$：
$\frac{1}{4} \int_{1}^{-1} u (1+u)^4 (-du) = \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} u (1+u)^4 \, du$

步骤5：展开多项式并积分

展开$(1+u)^4 = 1 + 4u + 6u^2 + 4u^3 + u^4$，乘以u后得：
$u(1+u)^4 = u + 4u^2 + 6u^3 + 4u^4 + u^5$
利用对称性，奇次项积分结果为0，仅保留偶次项：
$\frac{1}{4} \left( \int_{-1}^{1} 4u^2 + 4u^4 \, du \right) = \frac{1}{4} \cdot 2 \left( \int_{0}^{1} 4u^2 + 4u^4 \, du \right)$

步骤6：计算定积分

$2 \int_{0}^{1} (u^2 + u^4) \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) = \frac{16}{15}$