10.已知矩阵A= (} 4& 2& 1 2& 2& 0 1& 0& 1 ) . ,若矩阵X满足等式 AX=B+X ,求矩阵X.

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵的线性运算、逆矩阵的应用以及矩阵乘法的计算。

解题核心思路：将方程整理为$(A - E)X = B$的形式，利用矩阵可逆的条件求出逆矩阵，进而通过矩阵乘法得到解矩阵$X$。

破题关键点：

1. 移项整理：将原方程$AX = B + X$变形为$(A - E)X = B$。
2. 验证可逆性：计算$|A - E|$，确认其非零，从而保证逆矩阵存在。
3. 矩阵乘法：正确计算$(A - E)^{-1}B$，得到最终结果。

步骤1：整理方程
原方程$AX = B + X$可变形为：
$AX - X = B \implies (A - E)X = B$
其中$E$为单位矩阵。

步骤2：验证矩阵$A - E$可逆
计算行列式：
$|A - E| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - 2 \cdot (2 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1 \neq 0$
因此，$A - E$可逆。

步骤3：求逆矩阵$(A - E)^{-1}$
题目已给出逆矩阵：
$(A - E)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

步骤4：计算$X = (A - E)^{-1}B$
矩阵乘法过程如下：
$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -4 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$