【题目】求矩阵A:（以下是每一行的数）（11221)(0215-1)(203-13)（1104-1)的秩以及列向量组的一个极大无关组,并求出其他列向量被极大线性无关列向量组的线性表示。

步骤 1：矩阵的初等行变换
首先，我们对矩阵A进行初等行变换，以简化矩阵并求出其秩。
A =
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
\]
步骤 2：进行初等行变换
我们进行以下行变换：
- r3 - 2r1
- r4 - r1
- r3 + r2
- r4 * (-1/2)
- r1 - 2r4
- r2 - r4
- r2 * (1/2)
- r1 - r2
- r3 - r4
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
0 & -2 & -1 & -5 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2 & -2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 2 & -2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\
0 & 2 & 0 & 6 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 4 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
步骤 3：确定矩阵的秩和极大无关组
从变换后的矩阵可以看出，矩阵A的秩为3，列向量组的一个极大无关组为a1, a2, a3。
步骤 4：求出其他列向量被极大线性无关列向量组的线性表示
根据变换后的矩阵，我们可以得到：
a4 = a1 + 3a2 - a3
a5 = -a2 + a3