题目

设(X_1,X_2,X_3)是总体X的简单随机样本，EX=mu，下述四个统计量中mu的无偏估计量是(）。 A. (1)/(5)X_1+(2)/(5)X_2+(2)/(5)X_3B. (1)/(4)X_1-(1)/(2)X_2+(1)/(4)X_3C. (1)/(6)X_1+(5)/(6)X_2+(1)/(6)X_3D. (1)/(2)X_1+(1)/(9)X_2+(1)/(6)X_3

设$(X_1,X_2,X_3)$是总体$X$的简单随机样本，$EX=\mu$，下述四个统计量中$\mu$的无偏估计量是(）。

  • A. $\frac{1}{5}X_1+\frac{2}{5}X_2+\frac{2}{5}X_3$
  • B. $\frac{1}{4}X_1-\frac{1}{2}X_2+\frac{1}{4}X_3$
  • C. $\frac{1}{6}X_1+\frac{5}{6}X_2+\frac{1}{6}X_3$
  • D. $\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{9}X_2+\frac{1}{6}X_3$

题目解答

答案

为了确定哪个统计量是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，我们需要检查每个统计量的期望值是否等于 $\mu$。设 $X_1, X_2, X_3$ 是总体 $X$ 的简单随机样本，且 $E(X_i) = \mu$ 对于 $i = 1, 2, 3$。 让我们评估每个选项： **选项 A: $\frac{1}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2 + \frac{2}{5}X_3$** 这个统计量的期望值为： \[ E\left(\frac{1}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2 + \frac{2}{5}X_3\right) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{2}{5}E(X_2) + \frac{2}{5}E(X_3) = \frac{1}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu = \frac{5}{5}\mu = \mu \] 因此，这个统计量是 $\mu$ 的无偏估计量。 **选项 B: $\frac{1}{4}X_1 - \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3$** 这个统计量的期望值为： \[ E\left(\frac{1}{4}X_1 - \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3\right) = \frac{1}{4}E(X_1) - \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) = \frac{1}{4}\mu - \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{4}\mu = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)\mu = 0 \] 因此，这个统计量不是 $\mu$ 的无偏估计量。 **选项 C: $\frac{1}{6}X_1 + \frac{5}{6}X_2 + \frac{1}{6}X_3$** 这个统计量的期望值为： \[ E\left(\frac{1}{6}X_1 + \frac{5}{6}X_2 + \frac{1}{6}X_3\right) = \frac{1}{6}E(X_1) + \frac{5}{6}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3) = \frac{1}{6}\mu + \frac{5}{6}\mu + \frac{1}{6}\mu = \frac{7}{6}\mu \] 因此，这个统计量不是 $\mu$ 的无偏估计量。 **选项 D: $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{9}X_2 + \frac{1}{6}X_3$** 这个统计量的期望值为： \[ E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{9}X_2 + \frac{1}{6}X_3\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{9}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{9}\mu + \frac{1}{6}\mu = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \frac{1}{6}\right)\mu = \left(\frac{27}{54} + \frac{6}{54} + \frac{9}{54}\right)\mu = \frac{42}{54}\mu = \frac{7}{9}\mu \] 因此，这个统计量不是 $\mu$ 的无偏估计量。 唯一是 $\mu$ 的无偏估计量的统计量是选项 A。因此，答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查无偏估计量的概念及期望的性质。解题思路是根据无偏估计量的定义，若一个统计量是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，则该统计量的期望值应等于 $\mu$。已知 $(X_1,X_2,X_3)$ 是总体 $X$ 的简单随机样本，且 $EX = \mu$，那么 $E(X_i)=\mu$（$i = 1,2,3$），我们需要分别计算每个选项统计量的期望值，看哪个等于 $\mu$。

选项A

对于统计量 $\frac{1}{5}X_1+\frac{2}{5}X_2+\frac{2}{5}X_3$，根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量）可得：
$\begin{align*} E\left(\frac{1}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2 + \frac{2}{5}X_3\right) &= \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{2}{5}E(X_2) + \frac{2}{5}E(X_3)\\ &= \frac{1}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu\\ &= \frac{1 + 2 + 2}{5}\mu\\ &= \frac{5}{5}\mu\\ &= \mu \end{align*}$
所以该统计量是 $\mu$ 的无偏估计量。

选项B

对于统计量 $\frac{1}{4}X_1 - \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3$，同样根据期望的线性性质可得：
$\begin{align*} E\left(\frac{1}{4}X_1 - \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3\right) &= \frac{1}{4}E(X_1) - \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3)\\ &= \frac{1}{4}\mu - \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{4}\mu\\ &= \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)\mu\\ &= 0\times\mu\\ &= 0 \end{align*}$
所以该统计量不是 $\mu$ 的无偏估计量。

选项C

对于统计量 $\frac{1}{6}X_1 + \frac{5}{6}X_2 + \frac{1}{6}X_3$，根据期望的线性性质可得：
$\begin{align*} E\left(\frac{1}{6}X_1 + \frac{5}{6}X_2 + \frac{1}{6}X_3\right) &= \frac{1}{6}E(X_1) + \frac{5}{6}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3)\\ &= \frac{1}{6}\mu + \frac{5}{6}\mu + \frac{1}{6}\mu\\ &= \frac{1 + 5 + 1}{6}\mu\\ &= \frac{7}{6}\mu \end{align*}$
所以该统计量不是 $\mu$ 的无偏估计量。

选项D

对于统计量 $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{9}X_2 + \frac{1}{6}X_3$，根据期望的线性性质可得：
$\begin{align*} E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{9}X_2 + \frac{1}{6}X_3\right) &= \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{9}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3)\\ &= \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{9}\mu + \frac{1}{6}\mu\\ &= \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \frac{1}{6}\right)\mu\\ &= \left(\frac{27}{54} + \frac{6}{54} + \frac{9}{54}\right)\mu\\ &= \frac{27 + 6 + 9}{54}\mu\\ &= \frac{42}{54}\mu\\ &= \frac{7}{9}\mu \end{align*}$
所以该统计量不是 $\mu$ 的无偏估计量。