设 alpha_1, alpha_2, alpha_3 是四元方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，alpha_1=(1,2,3,4)^T，alpha_2+alpha_3=(0,1,2,3)^T，k 为任意常数，则 AX=b 的通解为（）- (1,2,3,4)^T + k(1,1,1,1)^T- (1,2,3,4)^T + k(0,1,2,3)^T- (1,2,3,4)^T + k(2,3,4,5)^T- (1,2,3,4)^T + k(3,4,5,6)^T

我们来一步步分析这道题目。 --- ### **题目已知条件：** - $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是四元方程组 $AX = b$ 的三个解向量； - $r(A) = 3$，即矩阵 $A$ 的秩为 3； - $\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)^T$； - $\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 2, 3)^T$； - $k$ 为任意常数； - 要求写出 $AX = b$ 的通解。 --- ### **第一步：理解线性方程组的解的结构** 对于一个非齐次线性方程组 $AX = b$，如果它有解，那么它的通解可以表示为： $$ X = X_p + X_h $$ 其中： - $X_p$ 是一个特解（即某个具体解）； - $X_h$ 是对应的齐次方程 $AX = 0$ 的通解（即解空间中任意一个向量）。 --- ### **第二步：分析齐次解空间的维数** 已知 $A$ 是一个 $m \times 4$ 矩阵，且 $r(A) = 3$，那么齐次方程 $AX = 0$ 的解空间的维数为： $$ \text{dim}(\text{null}(A)) = 4 - r(A) = 4 - 3 = 1 $$ 也就是说，齐次解空间是一维的，可以由一个非零向量张成。 --- ### **第三步：构造通解的形式** 我们已知 $\alpha_1$ 是一个特解，所以通解可以表示为： $$ X = \alpha_1 + k \cdot v $$ 其中 $v$ 是齐次解空间中的一个非零向量，$k$ 是任意常数。 --- ### **第四步：找出齐次解空间中的一个向量** 我们已知： - $\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 2, 3)^T$ - 令 $\alpha_2 = x$, $\alpha_3 = y$，则 $x + y = (0, 1, 2, 3)^T$ 我们考虑构造一个齐次解： $$ x - \alpha_1 \quad \text{和} \quad y - \alpha_1 $$ 这两个都是齐次解（因为 $\alpha_2, \alpha_3$ 都是 $AX = b$ 的解，所以它们与 $\alpha_1$ 的差是 $AX = 0$ 的解）。 那么： $$ (x - \alpha_1) + (y - \alpha_1) = (x + y) - 2\alpha_1 = (0,1,2,3)^T - 2(1,2,3,4)^T = (0 - 2, 1 - 4, 2 - 6, 3 - 8) = (-2, -3, -4, -5) $$ 所以 $(-2, -3, -4, -5)^T$ 是齐次解空间中的一个向量。 因此，我们可以取齐次解空间的基向量为： $$ v = (2, 3, 4, 5)^T $$ （与上面的向量方向相反，不影响通解） --- ### **第五步：写出通解** 所以，通解为： $$ X = \alpha_1 + k \cdot v = (1,2,3,4)^T + k(2,3,4,5)^T $$ --- ### **最终答案：** $$ \boxed{(1,2,3,4)^T + k(2,3,4,5)^T} $$ --- ### **选项匹配：** - ✅ 第三项：$(1,2,3,4)^T + k(2,3,4,5)^T$ --- ### **答案：** $$ \boxed{\text{第③项}} $$