中必存在一点c,使得 f(c)=c(c 称为函数f(x)的不动点).-|||-2.证明方程 ^5-3x=1 至少有一个根介于1和2之间.-|||-3.证明方程 =asin x+b, 其中 gt 0 ,b>0, 至少有一个正根,并且它不超过 +b.-|||-4.证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程-|||-_(0)(x)^2n+1+(a)_(1)(x)^2n+... +(a)_(2n)x+(a)_(2n+1)=0-|||-至少有一个实根,其中a0,a1,···, _(2n+1) 均为常数, in N.-|||-5.证明:方程 ^3+2(x)^2-4x-1=0 有三个实根.-|||-6.若f(x)在[a,b]上连续, lt (x)_(1)lt (x)_(2)lt ... lt (x)_(n)lt b(ngeqslant 3), 证明:在(x1,xn)内至-|||-(xi )=underline (f({x)_(1))+f((x)_(2))+... +f((x)_(n))}
题目解答
答案
解析
题目2：证明方程$x^5 - 3x = 1$至少有一个根介于1和2之间
考察知识：零点存在定理（若函数$f(x)$在$[a,b]$连续，且$f(a)f(b)<0$，则$(a,b)$内至少存在一个零点）。
解题思路：
构造函数$f(x) = x^5 - 3x - 1$，该函数在$\mathbb{R}$上连续（多项式函数连续）。
计算端点值：
$f(1) = 1^5 - 3\cdot1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 < 0$，
$f(2) = 2^5 - 3\cdot2 - 1 = 32 - 6 - 1 = 25 > 0$。
由零点存在定理，$f(x)$在$(1,2)$内至少有一个零点，即方程$x^5 - 3x = 1$在$(1,2)$内至少有一个根。
题目3：证明方程$x = a\sin x + b$（$a>0,b>0$）至少有一个正根，且不超过$a+b$
考察知识：零点存在定理。
解题思路：
构造函数$f(x) = x - a\sin x - b$，$f(x)$在$\mathbb{R}$上连续（初等函数连续）。
分析正区间：
- 当$x = a+b$时，$f(a+b) = (a+b) - a\sin(a+b) - b = a[1 - \sin(a+b)]$。
因$\sin(a+b) \leq 1$，故$f(a+b) \geq 0$（等号仅当$\sin(a+b)=1$时成立，此时$x=a+b$即为根）。 - 若$f(a+b) > 0$，则考虑$x=0$：$f(0) = 0 - 0 - b = -b < 0$。
由零点存在定理，$f(x)$在$(0,a+b)$内至少有一个零点，即方程在$(0,a+b)$内有正根。 - 若$f(a+b)=0$，则$x=a+b$本身即为正根。
综上，方程至少有一个正根，且不超过$a+b$。
题目4：证明奇数次代数方程至少有一个实根
考察知识：函数极限性质与零点存在定理。
解题思路：
设奇数次代数方程为$f(x) = a_0x^{2n+1} + a_1x^{2n} + \cdots + a_{2n+1}$（$a_0 \neq 0$），$f(x)$在$\mathbb{R}$上连续。
分析$x \to \pm\infty$时的极限：
- 当$a_0 > 0$时：$\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$，$\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$（奇数次幂主导）；
- 当$a_0 < 0$时：$\lim_{x \to +\infty}f(x) = -\infty$，$\lim_{x \to -\infty}f(x) = +\infty$。
由极限性质，存在$M > 0$，使$f(M) > 0$且$f(-M) < 0$（或反之）。
因$f(x)$在$[-M,M]$连续，由零点存在定理，$(-M,M)$内至少存在一个零点，即方程至少有一个实根。
题目5：证明方程$x^3 + 2x^2 - 4x - 1 = 0$有三个实根
考察知识：导数分析单调性与极值、零点存在定理。
解题思路：
构造$f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 1$，$f(x)$在$\mathbb{R}$上连续可导。
步骤1：求导数与临界点
$f'(x) = 3x^2 + 4x - 4$，令$f'(x)=0$，解得：
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6}$，即$x_1 = \frac{2}{3}$，$x_2 = -2$。
步骤2：分析单调性与极值
- $x < -2$时，$f'(x) > 0$（二次函数开口向上，两根外为正），$f(x)$单调递增；
- $-2 < x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减；
- $x > \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增。
步骤3：计算极值与端点极限
- 极大值：$f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) - 1 = -8 + 8 + 8 - 1 = 7 > 0$；
- 极小值：$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} - 1 = -\frac{41}{27} < 0$；
- 极限：$\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$，$\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$。
步骤4：零点存在性
- $(-\infty, -2)$：$f(-\infty)=-\infty$，$f(-2)=7>0$，存在零点；
- $(-2, \frac{2}{3})$：$f(-2)=7>0$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{41}{27}<0$，存在零点；
- $(\frac{2}{3}, +\infty)$：$f\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{41}{27}<0$，$f(+\infty)=+\infty$，存在零点。
综上，方程有三个实根。
题目6：证明连续函数在区间内存在点取平均值
考察知识：最值定理、介值定理。
解题思路：
设$f(x)$在$[a,b]$连续，$a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b$（$n\geq3$）。
步骤1：利用最值定理
因$f(x)$在$[x_1,x_n]$连续，故存在$M = \max_{[x_1,x_n]}f(x)$和$m = \min_{[x_1,x_n]}f(x)$，对任意$x_i$：$m \leq f(x_i) \leq M$。
步骤2：不等式放缩
对$f(x_1)+\cdots+f(x_n)$求和：$nm \leq \sum_{i=1}^n f(x_i) \leq nM$，即$m \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i) \leq M$。
步骤3：介值定理
由介值定理，存在$\xi \in [x_1,x_n]$，使$f(\xi) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)$。
因$n\geq3$，$x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，故$(x_1,x_n) \subset [x_1,x_n]$，$\xi$可在$(x_1,x_n)$内取到，结论成立。