[题目]设 f(x)= ) 1,|x|lt 1 0,|x|=1 -1,|x|gt 1 .-|||-求f[g(x)]和g[f(x)],并作出这两个函数的图形。

考查要点：本题主要考查分段函数的复合运算及函数图像的绘制能力。需要理解如何将一个函数作为另一个函数的输入，并根据输入值的范围确定输出值。

解题核心思路：

1. 复合函数定义：明确$f[g(x)]$表示将$g(x)$的输出作为$f(x)$的输入，同理$g[f(x)]$是将$f(x)$的输出作为$g(x)$的输入。
2. 分段讨论：根据$f(x)$和$g(x)$的分段条件，分别分析不同区间内输入值对应的输出结果。
3. 图像绘制：根据分段函数的表达式，分区间绘制对应的水平线或特定点。

破题关键点：

• $f[g(x)]$：通过分析$g(x)=e^x$的取值范围，确定$e^x$在$f(x)$定义域中的位置。
• $g[f(x)]$：直接利用$f(x)$的分段结果，代入指数函数$g(x)$中。

求$f[g(x)]$

1. 分析$g(x)=e^x$的取值范围：

   • 当$x < 0$时，$e^x < 1$；
   • 当$x = 0$时，$e^x = 1$；
   • 当$x > 0$时，$e^x > 1$。

2. 代入$f(x)$的分段条件：

   • 当$e^x < 1$（即$x < 0$），$f(e^x) = 1$；
   • 当$e^x = 1$（即$x = 0$），$f(e^x) = 0$；
   • 当$e^x > 1$（即$x > 0$），$f(e^x) = -1$。

结果：
$f[g(x)] = \begin{cases} 1, & x < 0 \\0, & x = 0 \\-1, & x > 0 \end{cases}$

求$g[f(x)]$

1. 分析$f(x)$的分段结果：

   • 当$|x| < 1$时，$f(x) = 1$；
   • 当$|x| = 1$时，$f(x) = 0$；
   • 当$|x| > 1$时，$f(x) = -1$。

2. 代入$g(x)=e^x$：

   • 当$|x| < 1$时，$g(f(x)) = e^1 = e$；
   • 当$|x| = 1$时，$g(f(x)) = e^0 = 1$；
   • 当$|x| > 1$时，$g(f(x)) = e^{-1} = \frac{1}{e}$。

结果：
$g[f(x)] = \begin{cases} e, & |x| < 1 \\1, & |x| = 1 \\\frac{1}{e}, & |x| > 1 \end{cases}$