20.设f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0，int_(0)^1f(x)dx=0.证明：存在xiin(0,1)，使得int_(0)^xif(x)dx=xi f(xi).

考查要点：本题主要考查辅助函数的构造以及罗尔定理的应用。需要学生理解如何通过积分和函数值的关系构造合适的函数，并利用微分中值定理证明存在性问题。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将积分与函数值结合，定义$\varphi(x) = \frac{\int_{0}^{x} f(t) \, dt}{x}$（注意处理$x=0$的情况）。
2. 验证函数性质：利用$f(x)$的连续性和$f(0)=0$，证明$\varphi(x)$在$[0,1]$上连续且可导。
3. 应用罗尔定理：通过$\varphi(0) = \varphi(1) = 0$，得出存在$\xi \in (0,1)$使$\varphi'(\xi) = 0$，进而得到所证等式。

破题关键点：

• 辅助函数的构造是关键，需将积分与函数值关联。
• 罗尔定理的条件验证（连续、可导、端点值相等）是解题的核心步骤。

步骤1：构造辅助函数
定义函数：
$\varphi(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\int_{0}^{x} f(t) \, dt}{x}, & 0 < x \leq 1, \\0, & x = 0.\end{cases}$

步骤2：验证$\varphi(x)$的连续性

• 当$x \neq 0$时，$\varphi(x)$由连续函数构成，故连续。
• 当$x = 0$时，由$f(0)=0$及积分中值定理，$\lim_{x \to 0} \varphi(x) = 0 = \varphi(0)$，故$\varphi(x)$在$[0,1]$上连续。

步骤3：验证$\varphi(x)$的可导性

• 在$(0,1)$内，$\varphi(x)$可导，导数为：
  $\varphi'(x) = \frac{f(x) \cdot x - \int_{0}^{x} f(t) \, dt}{x^2}.$

步骤4：应用罗尔定理

• $\varphi(0) = 0$，$\varphi(1) = \int_{0}^{1} f(t) \, dt = 0$，满足罗尔定理条件。
• 因此存在$\xi \in (0,1)$，使得$\varphi'(\xi) = 0$。

步骤5：推导目标等式
由$\varphi'(\xi) = 0$得：
$f(\xi) \cdot \xi - \int_{0}^{\xi} f(t) \, dt = 0 \implies \int_{0}^{\xi} f(t) \, dt = \xi f(\xi).$