(1)若矩阵A与B相似,则下列结论可能错误的是()(A)A与B对应于相同的特征值,它们的特征向量相同;(B)A2与B2相似;(C)A与B相似于同一矩阵;(D)|A|=|B|.2)设A=({3).P为2阶正交矩阵,且P'AP=11√22√2(A)左左(B)(C)(D)1122(3)n阶矩阵A仅有λ。是k重特征值,其余都不是重特征值.若A可以对角化,则矩阵A-λE的秩为().(A)n;(B)k;(C)n-k;(D)k-n.(4)设A为n阶可逆矩阵,λ是A的一个特征值,则下列选项中一定是伴随矩阵A的特征值的是()(A)|A|"-1λ-1;(B|A|λ-1;(C)|A|λ;(D)|A|"-1λ.(5)n阶矩阵A的n个特征值互不相同是A与对角矩阵相似的().(A)充分条件;B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件(6)若n阶矩阵A可以对角化,则下列选项一定成立的是().(A)存在n维向量a=(a1,a2,…,an)T,使得A=aaT;(B)存在可逆矩阵C,使得CTAC为对角矩阵(C)A有n个正的特征值;(D)A有n个线性无关的的特征向量.(7)若矩阵A与B相似,且PAP=B,λ。是A和B的一个特征值,a是A的对应于λ。的特征向量,则B对应于特征值λ。的特征向量为（).(A)a;(B)Pa;(C)Pa ;(D)P-1a.(8)若λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值,则下列选项中一定为矩阵(2A2)-1的特征值的是()(A)2;B)()( 1/8(9)下列矩阵中,与对角矩阵A-8/4) 相似的是()A)((B)(2/9 4/2)÷ (22282)) ()(10)设A为n阶矩阵,则下列结论正确的是()(A)A与对角矩阵相似;(B)A与对角矩阵不相似;(C)对应于A的不同特征值的特征向量正交;(D)存在正交矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.(11)设A为n阶矩阵,λ1与λ2是A的两个不同的特征值,x1和x2是分别是A对应于λ1与λ2的特征向量.若k1x1+k2x2仍为A的特征向量,则（）.(A）k1+k2=0;(B)k1·k2≠0;C）k1+k2≠0且k1·k2≠0;(D）k1+k2≠0且k1·k2=0.(12)设3阶方阵A的特征值分别为λ1=1,λ2=-1,λ3=2,其对应的特征向量分别为p1,p2,p3,若P=(p2,p3,p1),则P-1AP=（).100(A)010(B);0021100;0=10;0.020.100200(C)020;(D)01000100-1

题目考察知识和解题思路概述

本题涵盖线性代数中矩阵相似、特征值与特征向量、对角化、伴随伴随矩阵等核心知识点，具体解题需结合相关定义、定理及性质逐项分析。

各题详细解析

(1) 若矩阵$A$与$B$相似，则下列结论可能错误的是()

关键分析：相似矩阵性质包括特征值相同、行列式相等、可对角化时相似于同一对角矩阵，但特征向量不同。

• 选项A：$A$与$B$特征值相同，但特征向量不同。由$P^{-1}AP=B$，若$Bx=\lambda x$，则$A(Px)=\lambda(Px)$，故$B$的特征向量$x$对应$A$的特征向量为$Px$（$P\neq E$时不等），错误。
• 选项B：$A^2$与$B^2$相似。因$B=P^{-1}AP$，则$B^2=P^{-1}A^2P$，正确。
• 选项C：相似矩阵可对角化时相似于同一对角矩阵，正确。
• 选项D：$|A|=|B|$，相似矩阵行列式相等，正确。

答案：A

(2) 设$A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$，$P$为正交矩阵，且$P^TAP=\Lambda$，则\(\ ) **关键分析**：实对称矩阵正交相似于对角矩阵，对角元为特征值。 - $A$特征值：$\lambda_1=4,\lambda_2=2$，正交矩阵$P$的列向量为单位特征向量，对应特征向量正交，故$P$的列向量正交，选项A符合。

答案：A

(3)$3)n阶矩阵\(A$仅有$\lambda_0$是$k$重特征值，其余非重，若$A$可对角化，则$r(A-\lambda_0E)=()$

关键分析：可对角化矩阵的$k$重特征值对应$k$个线性无关特征向量，故$n-r(A-\lambda_0E)=k$，则$r(A-\lambda0E)=n-k$。

答案：C

(4)设$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，则$A^*$的特征值是()

关键分析：$A^*=|A|A^{-1}$，若$Ax=\lambda x$则$A^{-1}x=\lambda^{-1}x$，故$A^*x=|A|\lambda^{-1}x$。

答案：B

(5) $A$的$n$个特征值互异是$A$与对角矩阵相似的()

关键分析：特征值互异是充分条件（必可对角化），但非必要（可对角化不一定特征值互异）。

答案：A

(6) $A$可对角化，则下列一定成立的是()

关键分析：可对角化等价于有$n$个线性无关特征向量，选项D正确；选项A是秩1矩阵，错误；选项B需正交矩阵，错误；选项C特征值可负，错误。

答案：D

(7) $A\sim B$，$P^{-1}AP=B$，$\lambda_0$是特征值，$a$是$A$的特征向量，则$B$的特征向量为()

**关键分析：$B(P^{-1}a)=P^{-1}AP(P^{-1}a)=P^{-1}Aa=\lambda\\lambda_0(P^{-1}a)$，故$B$的特征向量为$P^{-1}a$。

答案：D

(8) $\lambda=2$是$A$的特征值，则$(2A^2)^{-1}$的特征值是()

关键分析：$2A^2$的特征值为$2*(2^2)=8$，其逆的特征值为$1/8$。

答案：D

(9)与$\Lambda=\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}$相似的矩阵是()

关键分析：相似矩阵秩相同，$\Lambda$秩2，选项C秩2（行列式非零），其他秩1，选C。

(10) 结论正确的是()

关键分析：选项D：$(AP)^T(AP)=P^TAP=P^TA^TP$，实对称时$A^T=A$，故为对角矩阵，正确。

(11) $A$不同特征值$\lambda1,\lambda2$对应特征向量$x1,x2$，$k1x1+k2x2$仍是特征向量，则()

关键分析：不同特征值特征向量线性无关，若$k1x1+k2x2$是特征向量，则$k1=0$或$k2=0$，故$k1+k2\neq0$且$k1k2=0$。

答案：D

(12) $A$特征值1,-1,2，对应特征向量$p1,p2,p3$，$P=(p2,p3,p1)$，则$P^{-1}AP=()$

关键分析：$P$的列对应特征向量$p2,p3,p1$，故对角矩阵对角元为对应特征值：-1,2,1，选项C。