题目
2-22 质量为45.0kg的物体,由地面以初速度 .0mcdot (s)^-1 竖直向上发射,-|||-物体受到空气的阻力为 _(r)=kv, 且 =0.03kgcdot (s)^-1 (1)求物体发射到最大高度-|||-所需的时间;(2)最大高度为多少?
题目解答
答案
解析
本题考查牛顿第二定律以及通过分离变量法求解动力学方程，进而得到物体运动的时间和高度。解题的关键在于根据牛顿第二定律列出物体的动力学方程，然后通过分离变量法对其进行积分求解。
（1）求物体发射到最大高度所需的时间
- 首先，对物体进行受力分析，物体在空中受重力 $mg$ 和空气阻力 $F_1 = kv$ 作用而减速。根据牛顿第二定律 $F = ma$，其中加速度 $a=\frac{dv}{dt}$，可得动力学方程：
$-mg - kv = m\frac{dv}{dt}$
这里负号表示力的方向与速度方向相反。 - 然后，对上述方程进行分离变量：
$\frac{dv}{mg + kv}=-\frac{dt}{m}$ - 接着，确定积分上下限。初始时刻 $t = 0$ 时，速度 $v = v_0$；当物体到达最大高度时，速度 $v = 0$。对分离变量后的方程两边进行积分：
$\int_{v_0}^{0}\frac{dv}{mg + kv}=-\int_{0}^{t}\frac{dt}{m}$ - 对左边积分，令 $u = mg + kv$，则 $du = kdv$，当 $v = v_0$ 时，$u = mg + kv_0$；当 $v = 0$ 时，$u = mg$。所以：
$\int_{v_0}^{0}\frac{dv}{mg + kv}=\frac{1}{k}\int_{mg + kv_0}^{mg}\frac{du}{u}=\frac{1}{k}[\ln u]_{mg + kv_0}^{mg}=\frac{1}{k}(\ln mg - \ln (mg + kv_0))=-\frac{1}{k}\ln(1 + \frac{kv_0}{mg})$
右边积分结果为 $-\frac{t}{m}$。 - 则有：
$-\frac{1}{k}\ln(1 + \frac{kv_0}{mg})=-\frac{t}{m}$
解得 $t=\frac{m}{k}\ln(1 + \frac{kv_0}{mg})$
将 $m = 45.0kg$，$k = 0.03kg\cdot s^{-1}$，$v_0 = 60.0m\cdot s^{-1}$，$g = 9.8m\cdot s^{-2}$ 代入可得：
$t=\frac{45}{0.03}\ln(1 + \frac{0.03\times60}{45\times9.8})$
$=1500\ln(1+\frac{1.8}{441})$
$=1500\ln(1 + 0.00408)$
$\approx1500\times0.00407$
$\approx6.11s$
（2）求最大高度
- 利用速度定义式 $\frac{dv}{dt}=\frac{vdv}{dy}$ 代入动力学方程 $-mg - kv = m\frac{dv}{dt}$，可得：
$-mg - kv = mv\frac{dv}{dy}$ - 分离变量：
$\frac{dy}{-mg - kv}=\frac{vdv}{m}$
即 $\frac{dy}{mg + kv}=-\frac{vdv}{m}$ - 确定积分上下限。初始时刻 $y = 0$ 时，速度 $v = v_0$；当物体到达最大高度时，速度 $v = 0$。对分离变量后的方程两边进行积分：
$\int_{0}^{y}dy=-\int_{v_0}^{0}\frac{vdv}{mg + kv}$ - 对右边积分，令 $u = mg + kv$，则 $v=\frac{u - mg}{k}$，$dv=\frac{du}{k}$。当 $v = v_0$ 时，$u = mg + kv_0$；当 $v = 0$ 时，$u = mg$。
$-\int_{v_0}^{0}\frac{vdv}{mg + kv}=-\frac{1}{k^2}\int_{mg + kv_0}^{mg}\frac{(u - mg)du}{u}$
$=-\frac{1}{k^2}\int_{mg + kv_0}^{mg}(1-\frac{mg}{u})du$
$=-\frac{1}{k^2}[u - mg\ln u]_{mg + kv_0}^{mg}$
$=-\frac{1}{k^2}[(mg - mg\ln mg)-(mg + kv_0 - mg\ln (mg + kv_0))]$
$=-\frac{1}{k^2}[mg - mg\ln mg - mg - kv_0 + mg\ln (mg + kv_0)]$
$=-\frac{1}{k^2}[- kv_0+mg\ln(1 + \frac{kv_0}{mg})]$
$=-\frac{m}{k}[\frac{mg}{k}\ln(1 + \frac{kv_0}{mg})-v_0]$
所以 $y=-\frac{m}{k}[\frac{mg}{k}\ln(1 + \frac{kv_0}{mg})-v_0]$
将 $m = 45.0kg$，$k = 0.03kg\cdot s^{-1}$，$v_0 = 60.0m\cdot s^{-1}$，$g = 9.8m\cdot s^{-2}$ 代入可得：
$y=-\frac{45}{0.03}[\frac{45\times9.8}{0.03}\ln(1 + \frac{0.03\times60}{45\times9.8})-60]$
$=-1500[14700\ln(1 + 0.00408)-60]$
$\approx-1500[14700\times0.00407 - 60]$
$\approx-1500[59.829 - 60]$
$\approx-1500\times(-0.171)$
$\approx183m$