22.当x→0时，将无穷小量α=x^3，β=sqrt(1+x^2)-1，γ=e^2x-1排列，使排在后面的是前面的高阶无穷小，则排列正确的是（）A. α,β,γB. λ,α,βC. α,γ,βD. γ,β,α

考查要点：本题主要考查无穷小量的阶数比较，需要利用泰勒展开或等价无穷小替换确定各函数在$x \to 0$时的主部，进而比较阶数高低。

解题核心思路：

1. 确定各无穷小量的主部：通过泰勒展开或等价无穷小替换，找到每个函数在$x \to 0$时的等价表达式。
2. 比较阶数：根据主部中$x$的幂次，判断各无穷小量的阶数高低。
3. 排序规则：题目要求“后面的每个是前面的高阶无穷小”，即低阶在前，高阶在后。

破题关键点：

• α的主部：直接由$x^3$确定为三阶无穷小。
• β的主部：展开$\sqrt{1+x^2}$至二次项，得到$\beta \sim \frac{x^2}{2}$。
• γ的主部：展开$e^{2x}$至一次项，得到$\gamma \sim 2x$。

分析各无穷小量的阶数

1. α = x³

• 直接观察可知，当$x \to 0$时，$\alpha$的主部为$x^3$，是三阶无穷小。

2. β = √(1+x²) − 1

• 对$\sqrt{1+x^2}$进行泰勒展开：
  $\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + \cdots$
• 因此，$\beta = \sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{x^2}{2}$，是二阶无穷小。

3. γ = e²x − 1

• 对$e^{2x}$进行泰勒展开：
  $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \cdots$
• 因此，$\gamma = e^{2x} - 1 \sim 2x$，是一阶无穷小。

排序规则验证

• γ（一阶） → β（二阶） → α（三阶）：每个后面的无穷小量均为前面的高阶无穷小，符合题意。