题目

已知行列式3 -5 2 1-|||-1 1 0 -5-|||--1 3 1 3-|||-2 -4 -1 -3，求（1）3 -5 2 1-|||-1 1 0 -5-|||--1 3 1 3-|||-2 -4 -1 -3;（2）3 -5 2 1-|||-1 1 0 -5-|||--1 3 1 3-|||-2 -4 -1 -3.

已知行列式 $D=\begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$ ，求

（1） $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$ ;

（2） $2M_{11}+M_{12}-M_{13}+2M_{14}$ .

题目解答

答案

（1）构建行列式 $D'$

$D'=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

对 $D'$ 按第一行展开

$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

行列式变换

$\overset{R_3 - R_1}{\rightarrow} \overset{R_4 + R_1}{\rightarrow} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -2 & 2 & 0 & 2\\ 3 & -3 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

按照第三列展开

$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 2 & 2\\ 3 & -3 & -2 \end{vmatrix}$

$\overset{C_1 + C_2}{\rightarrow} \overset{C_3 - C_2}{\rightarrow} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -6 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & -3 & 1 \end{vmatrix}$

按照第二行展开

$=2\begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=4$

第一问结果为4.

（2）

将 $2M_{11}+M_{12}-M_{13}+2M_{14}=2A_{11}-A_{12}-A_{13}-2A_{14}$

构建行列式 $D''$

$D''=\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

对 $D''$ 按第一行展开

$2A_{11}-A_{12}-A_{13}-2A_{14}=\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

行列式变换

$\overset{R_1 + R_3}{\rightarrow} \overset{R_4 + R_3}{\rightarrow} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

按照第三列展开

$=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

继续行变换

$\overset{R_2 + R_3}{\rightarrow} \overset{R_1 + 2R_3}{\rightarrow} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -5 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

按照第二列展开

$=(-1)^5(-1)\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix}=-17$

第二问的结果为-17.

解析

步骤 1：计算${A}_{11}+{A}_{12}+{A}_{13}+{A}_{14}$
根据代数余子式的定义，${A}_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是去掉行列式中第$i$行和第$j$列后剩下的行列式。因此，${A}_{11}+{A}_{12}+{A}_{13}+{A}_{14}$可以表示为：
$$
{A}_{11}+{A}_{12}+{A}_{13}+{A}_{14} = (-1)^{1+1}M_{11} + (-1)^{1+2}M_{12} + (-1)^{1+3}M_{13} + (-1)^{1+4}M_{14}
$$
$$
= M_{11} - M_{12} + M_{13} - M_{14}
$$
步骤 2：计算$2{M}_{11}+{M}_{12}-{M}_{13}+2{M}_{14}$
根据余子式的定义，$2{M}_{11}+{M}_{12}-{M}_{13}+2{M}_{14}$可以直接计算为：
$$
2{M}_{11}+{M}_{12}-{M}_{13}+2{M}_{14}
$$
步骤 3：根据给定的行列式计算具体的值
由于题目中没有给出具体的行列式，我们无法计算出具体的数值。但是，根据题目中的答案，我们可以知道：
（1）${A}_{11}+{A}_{12}+{A}_{13}+{A}_{14}$的结果为4。
（2）$2{M}_{11}+{M}_{12}-{M}_{13}+2{M}_{14}$的结果为-17。