题目

已知行列式-|||--|||-3 4 3 3,则-|||--|||-3 4 3 3( )A 2 B -2C 0 D 4

已知行列式 $\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\\ \end{matrix} \right|=2$ ,则 $A_{31}+2A_{32}+A_{33}=$ ( )

A 2

B -2

C 0

D 4

题目解答

答案

构造行列式 $\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 1& 2& 1\\ \end{matrix} \right|$ ，易见，行列式 $\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 1& 2& 1\\ \end{matrix} \right|$ 与原行列式只有第三行元素不同，则其代数余子式 $A_{31},A_{32},A_{33}$ 均相同，且根据行列式的展开定理可得 $\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 1& 2& 1\\ \end{matrix} \right| =A_{31}+2A_{32}+A_{33}$

又 $\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 1& 2& 1\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_3-r_1}\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 0& 0& -2\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_2-2r_1}\left| \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& -2& -5\\ 0& 0& -2\\ \end{matrix} \right|$

$=\left(-2\right)^2=4$

故答案为D。

解析

步骤 1：构造行列式
构造行列式，易见，行列式与原行列式只有第三行元素不同，则其代数余子式A31,A32,A33均相同，且根据行列式的展开定理可得
步骤 2：计算行列式
$={(-2)}^{2}=4$