题目
2、单选 n阶行列式的展开式中含a_(11)a_(22)的项共有(…)项.A. 0B. n-2C. (n-2)!D. (n-1)!
2、单选 n阶行列式的展开式中含$a_{11}a_{22}$的项共有(…)项.
A. 0
B. n-2
C. (n-2)!
D. (n-1)!
题目解答
答案
C. (n-2)!
解析
考查要点:本题主要考查行列式展开式的结构,特别是包含特定元素的项的个数。关键在于理解行列式展开中元素的选取规则及排列组合的应用。
解题核心思路:
行列式的展开式中,每一项对应一个排列,且元素来自不同行不同列。若要求项中包含$a_{11}$和$a_{22}$,则需固定前两行的列标,剩余行的列标需从剩余列中进行排列,此时剩余部分的排列数即为所求项的个数。
破题关键点:
- 固定已知元素的列标:$a_{11}$对应列标1,$a_{22}$对应列标2。
- 剩余列标的排列:剩余$n-2$行需从列标3到$n$中进行排列,共有$(n-2)!$种方式。
行列式的展开式中,一般项的形式为:
$(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$
其中$j_1, j_2, \ldots, j_n$是$1, 2, \ldots, n$的一个排列。
要求项中包含$a_{11}a_{22}$,则:
- 固定前两行的列标:$j_1 = 1$(对应$a_{11}$),$j_2 = 2$(对应$a_{22}$)。
- 剩余行的列标排列:第3行到第$n$行的列标$j_3, j_4, \ldots, j_n$必须从剩余的列标$3, 4, \ldots, n$中选取,且互不重复。
- 排列数计算:剩余$n-2$个列标的排列方式共有$(n-2)!$种。
因此,含$a_{11}a_{22}$的项共有$(n-2)!$项,对应选项C。