设平面图形 D 由抛物线 y = x^2 与直线 y = x 围成，画出草图并求出：(1) D 的面积；(2) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

本题主要考查利用定积分求平面图形的面积以及旋转体的体积。解题的关键在于先确定积分区间，再根据图形的位置关系选择合适的被积函数进行积分运算。

（1）求平面图形 $D$ 的面积

• 确定积分区间：
  联立抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = x$ 的方程，可得$\begin{cases}y = x^2\\y = x\end{cases}$，将 $y = x$ 代入 $y = x^2$ 中，得到 $x = x^2$，移项化为 $x^2 - x = 0$，提取公因式 $x$ 得 $x(x - 1) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1$，所以积分区间为 $[0, 1]$。
• 计算面积：
  在区间 $[0, 1]$ 上，通过比较 $x$ 和 $x^2$ 的大小，当 $x\in[0, 1]$ 时，$x\geq x^2$，即直线 $y = x$ 位于抛物线 $y = x^2$ 上方。根据定积分求面积的公式 $A=\int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$（其中 $f(x)$ 为上方曲线，$g(x)$ 为下方曲线，$[a,b]$ 为积分区间），可得平面图形 $D$ 的面积为：
  $A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx$
  根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)-v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx-\int_{a}^{b}v(x)dx$，则有：
  $A=\int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx$
  根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
  $\int_{0}^{1} x \, dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{2}\times0^2=\frac{1}{2}$
  $\int_{0}^{1} x^2 \, dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}$
  所以 $A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$。

（2）求 $D$ 绕 $x$ - 轴旋转一周所得旋转体的体积

• 应用圆盘法：
  根据圆盘法求旋转体体积的公式 $V = \pi\int_{a}^{b} [R^2(x)-r^2(x)]dx$（其中 $R(x)$ 为外半径，$r(x)$ 为内半径，$[a,b]$ 为积分区间）。在本题中，外曲线为直线 $y = x$，内曲线为抛物线 $y = x^2$，积分区间为 $[0, 1]$，所以旋转体体积为：
  $V = \pi \int_{0}^{1} \left[ x^2 - (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx$
• 计算体积：
  根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)-v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx-\int_{a}^{b}v(x)dx$，则有：
  $V=\pi\left(\int_{0}^{1} x^2 \, dx - \int_{0}^{1} x^4 \, dx\right)$
  根据定积分基本公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
  $\int_{0}^{1} x^2 \, dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}$
  $\int_{0}^{1} x^4 \, dx=\left[\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}\times1^5-\frac{1}{5}\times0^5=\frac{1}{5}$
  所以 $V=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\pi\times\frac{5 - 3}{15}=\frac{2\pi}{15}$。

草图说明

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^2$ 开口向上，顶点为原点 $(0,0)$；直线 $y = x$ 过原点 $(0,0)$，斜率为 $1$。联立方程解得二者交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，区域 $D$ 为两曲线之间从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的封闭区域。