（2025，数学二）设矩阵}1&2&02&a&00&0&b有一个正特征值和两个负特征值，则（ ）(A) a>4,b>0 (B) a<4,b>0 (C) a>4,b<0 (D) a<4,b<0

为了确定矩阵 $ A = \begin{bmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{bmatrix} $ 有一个正特征值和两个负特征值的条件，我们需要分析矩阵的特征值。矩阵 $ A $ 的特征值是特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 的解，其中 $ I $ 是单位矩阵。 首先，我们计算矩阵 $ A - \lambda I $ 的行列式： \[ A - \lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & a-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & b-\lambda\end{bmatrix} \] 行列式为： \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}1-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & a-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & b-\lambda\end{vmatrix} = (b-\lambda) \begin{vmatrix}1-\lambda & 2 \\ 2 & a-\lambda\end{vmatrix} \] 我们计算 2x2 矩阵的行列式： \[ \begin{vmatrix}1-\lambda & 2 \\ 2 & a-\lambda\end{vmatrix} = (1-\lambda)(a-\lambda) - 4 = \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4) \] 因此，特征方程为： \[ (b-\lambda)(\lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4)) = 0 \] 这个方程的解是 $ \lambda = b $ 和二次方程 $ \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4) = 0 $ 的根。二次方程的根为： \[ \lambda = \frac{(a+1) \pm \sqrt{(a+1)^2 - 4(a-4)}}{2} = \frac{(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 2a + 1 - 4a + 16}}{2} = \frac{(a+1) \pm \sqrt{a^2 - 2a + 17}}{2} \] 由于 $ a^2 - 2a + 17 = (a-1)^2 + 16 $ 总是正数，二次方程的根是实数且不相等。为了使矩阵有一个正特征值和两个负特征值，我们需要考虑以下情况： 1. $ b $ 是正特征值，二次方程的根都是负数。 2. $ b $ 是负特征值，二次方程的根一个正数一个负数。 **情况 1: $ b $ 是正特征值，二次方程的根都是负数。** 如果 $ b > 0 $，那么二次方程的根必须都是负数。二次方程 $ \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a-4) = 0 $ 的根的和是 $ a+1 $（根据韦达定理），根的乘积是 $ a-4 $。为了使根都是负数，我们需要： \[ a+1 < 0 \quad \text{和} \quad a-4 > 0 \] 然而，这两个条件不能同时满足。因此，这种情况是不可能的。 **情况 2: $ b $ 是负特征值，二次方程的根一个正数一个负数。** 如果 $ b < 0 $，那么二次方程的根必须一个正数一个负数。为了使根一个正数一个负数，我们需要： \[ a-4 < 0 \] 这简化为： \[ a < 4 \] 因此，矩阵有一个正特征值和两个负特征值的条件是 $ a < 4 $ 和 $ b < 0 $。 正确答案是： \[ \boxed{D} \]