设 z(x,y) 为 由 方 程 2xz-2xyz+ln(xyz)=0 确定的函数，则 (partial z)/(partial x)=(）. A. -(2z-2yz+frac(1)/(xyz))(2x-2xy+(1)/(xyz))B. -(2x-2xy+frac(1)/(xyz))(2z-2yz+(1)/(xyz))C. -(2z-2yz+frac(1)/(x))(2x-2xy+(1)/(z))D. -(2x-2xy+frac(1)/(z))(2z-2yz+(1)/(x))
设 $z(x,y)$ 为 由 方 程 $2xz-2xyz+\ln(xyz)=0$ 确定的函数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$(）.
- A. $-\frac{2z-2yz+\frac{1}{xyz}}{2x-2xy+\frac{1}{xyz}}$
- B. $-\frac{2x-2xy+\frac{1}{xyz}}{2z-2yz+\frac{1}{xyz}}$
- C. $-\frac{2z-2yz+\frac{1}{x}}{2x-2xy+\frac{1}{z}}$
- D. $-\frac{2x-2xy+\frac{1}{z}}{2z-2yz+\frac{1}{x}}$
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查隐函数的偏导数计算，需要掌握链式法则和隐函数求导法则的应用。
解题核心思路：
- 将方程中的$z$视为$x$和$y$的函数，对$x$求偏导时，将$y$视为常数。
- 对方程两边逐项求导，注意处理复合函数的导数（如$\ln(xyz)$）。
- 分离含$\frac{\partial z}{\partial x}$的项，整理后解出$\frac{\partial z}{\partial x}$。
破题关键点：
- 正确应用乘积法则对含$z$的项求导。
- 链式法则处理$\ln(xyz)$，注意中间变量的导数形式。
- 合并同类项后，将$\frac{\partial z}{\partial x}$的系数提取出来，最终解方程。
步骤1：对原方程求偏导
原方程：
$2xz - 2xyz + \ln(xyz) = 0$
对$x$求偏导，逐项计算：
-
第一项$2xz$：
$\frac{\partial}{\partial x}(2xz) = 2z + 2x \frac{\partial z}{\partial x}$ -
第二项$-2xyz$：
$\frac{\partial}{\partial x}(-2xyz) = -2yz - 2xy \frac{\partial z}{\partial x}$ -
第三项$\ln(xyz)$：
$\frac{\partial}{\partial x}(\ln(xyz)) = \frac{1}{xyz} \cdot \left( yz + xy \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x}$
步骤2：合并所有项
将上述结果代入原方程的导数形式：
$2z + 2x \frac{\partial z}{\partial x} - 2yz - 2xy \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
步骤3：整理含$\frac{\partial z}{\partial x}$的项
将不含$\frac{\partial z}{\partial x}$的项移到等式右边：
$(2x - 2xy + \frac{1}{z}) \frac{\partial z}{\partial x} = - \left( 2z - 2yz + \frac{1}{x} \right)$
步骤4：解出$\frac{\partial z}{\partial x}$
最终得到：
$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{2z - 2yz + \frac{1}{x}}{2x - 2xy + \frac{1}{z}}$
选项匹配：
对比选项，C选项与上述结果一致。