8. 使用拉格朗日插值和牛顿插值方法得出的插值多项式是一致的。

考查要点：本题主要考查拉格朗日插值法和牛顿插值法的基本原理，以及插值多项式的唯一性定理。

解题核心思路：

1. 插值多项式的唯一性：对于给定的$n+1$个互异节点，存在唯一一个次数不超过$n$的多项式通过所有节点。
2. 两种方法的本质：拉格朗日插值通过基函数线性组合构造多项式，牛顿插值通过逐步添加差商项构造多项式，但两者均满足插值条件，因此必然等价。

破题关键点：

• 明确两种插值方法的构造过程均遵循插值多项式的唯一性定理，从而得出它们本质上是同一个多项式。

拉格朗日插值法

构造形如：
$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$
其中，基函数$L_i(x)$满足$L_i(x_j) = \delta_{ij}$（克罗内克函数），保证$P_n(x)$通过所有节点$(x_i, y_i)$。

牛顿插值法

构造形如：
$P_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})$
其中系数$a_k$由差商计算得出，逐步添加高次项以满足插值条件。

关键结论

根据插值多项式的唯一性定理，若两种方法均构造次数不超过$n$且通过所有节点的多项式，则它们必然相等。因此，拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式本质上是同一个多项式，仅表示形式不同。