做一系列独立试验,每次成功的概率为 (0lt plt 1),-|||-(1)试验进行到成功与失败均出现时停止,求试验次数X的分布律.-|||-(2)试验进行到出现n次成功时停止,求已经失败的次数Y的分布律.

考查要点：
本题主要考查停止试验的分布律，涉及几何分布和负二项分布的应用，需要理解试验停止的条件并正确拆分事件的可能性。

解题核心思路：

1. 第（1）题：试验在成功与失败均出现时停止，需保证前$k-1$次全成功或全失败，第$k$次结果相反。
2. 第（2）题：试验在第$n$次成功时停止，此时失败次数$Y=k$对应前$n+k-1$次中有$k$次失败，第$n+k$次成功。

破题关键点：

• 分类讨论：第（1）题需分“前$k-1$次全成功”和“前$k-1$次全失败”两种情况。
• 组合数应用：第（2）题需用组合数计算前$n+k-1$次中失败的分布情况。

第（1）题

试验次数$X$的分布律

1. 可能取值：$X \geq 2$，即至少需要两次试验才能同时出现成功与失败。
2. 事件拆分：
   • 情况1：前$k-1$次全成功，第$k$次失败，概率为$p^{k-1}(1-p)$。
   • 情况2：前$k-1$次全失败，第$k$次成功，概率为$(1-p)^{k-1}p$。
3. 合并概率：
   $P(X=k) = p^{k-1}(1-p) + (1-p)^{k-1}p = p(1-p)\left[p^{k-2} + (1-p)^{k-2}\right], \quad k \geq 2.$

第（2）题

失败次数$Y$的分布律

1. 可能取值：$Y = 0,1,2,\dots$，即失败次数从$0$开始。
2. 事件分析：
   • 当第$n$次成功出现在第$n+k$次试验时，前$n+k-1$次中有$k$次失败，第$n+k$次成功。
3. 组合数计算：
   $P(Y=k) = \binom{n+k-1}{k} p^n (1-p)^k, \quad k=0,1,2,\dots.$