题目
试卷中有一道选择题,共有 4 个答案可供选择,其中只有一个是正确的,任一考生如果会解这道题,则一定能选取正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率为 0.8 ,求:( 1 )考生选出正确答案的概率;( 2 )已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率。
试卷中有一道选择题,共有 4 个答案可供选择,其中只有一个是正确的,任一考生如果会解这道题,则一定能选取正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率为 0.8 ,求:( 1 )考生选出正确答案的概率;( 2 )已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率。
题目解答
答案
(1)0.8*1+0.2*0.25=0.85 (2)0.8*1/0.85=16/17
解析
步骤 1：定义事件
设事件 A 表示“考生会解这道题”，事件 B 表示“考生选出正确答案”。
步骤 2：计算考生选出正确答案的概率
根据题意，考生会解这道题的概率为 P(A) = 0.8，不会解这道题的概率为 P(A') = 1 - P(A) = 0.2。如果考生会解这道题，则他一定能选出正确答案，即 P(B|A) = 1。如果考生不会解这道题，则他随机选择一个答案，选出正确答案的概率为 P(B|A') = 1/4 = 0.25。根据全概率公式，考生选出正确答案的概率为：
P(B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A') = 0.8 * 1 + 0.2 * 0.25 = 0.85
步骤 3：计算已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率
根据贝叶斯公式，已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率为：
P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B) = 0.8 * 1 / 0.85 = 16/17
设事件 A 表示“考生会解这道题”，事件 B 表示“考生选出正确答案”。
步骤 2：计算考生选出正确答案的概率
根据题意，考生会解这道题的概率为 P(A) = 0.8，不会解这道题的概率为 P(A') = 1 - P(A) = 0.2。如果考生会解这道题，则他一定能选出正确答案，即 P(B|A) = 1。如果考生不会解这道题，则他随机选择一个答案，选出正确答案的概率为 P(B|A') = 1/4 = 0.25。根据全概率公式，考生选出正确答案的概率为：
P(B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A') = 0.8 * 1 + 0.2 * 0.25 = 0.85
步骤 3：计算已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率
根据贝叶斯公式，已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率为：
P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B) = 0.8 * 1 / 0.85 = 16/17