举出定义在[0,1 ]上分别符合下述要求的函数:-|||-(1)只在 dfrac (1)(2), dfrac (1)(3) 和 dfrac (1)(4) 三点不连续的函数;-|||-(2)只在 dfrac (1)(2) ,dfrac (1)(3) 和 dfrac (1)(4) 三点连续的函数;-|||-(3)只在 dfrac (1)(n)(n=1,2,3,... ) 上间断的函数;-|||-(4)只在 x=0 右连续,而在其他点都不连续的函数.

考查要点：本题主要考查函数连续性的构造能力，需要根据给定的不连续或连续点设计合适的函数形式。
解题思路：

1. 分式函数：通过分母在特定点为零构造不连续点。
2. 分段函数结合有理数/无理数：利用黎曼函数思想，在特定点连续，其他点不连续。
3. 周期性分母函数：通过分母在特定序列点为零构造间断点。
4. 局部右连续构造：在单点通过极限定义连续性，其他点设计为不连续。

(1) 只在 $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$ 三点不连续的函数

构造方法：

• 设分母为 $(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{3})(x-\dfrac{1}{4})$，则在 $x=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$ 处分母为零，函数无定义（不连续）。
• 其他点连续：分母不为零时，分式函数连续。

(2) 只在 $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$ 三点连续的函数

构造方法：

• 有理数点：定义 $f(x)=(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{3})(x-\dfrac{1}{4})$，在三个点处值为 $0$。
• 无理数点：定义 $f(x)=0$。
• 连续性分析：
  • 在三个点处，极限值为 $0$，与函数值一致，故连续。
  • 其他有理数点函数值非零，但极限为 $0$，故不连续。

(3) 只在 $x=\dfrac{1}{n}$（$n=1,2,3,\cdots$）上间断的函数

构造方法：

• 设 $f(x)=\dfrac{1}{\sin \dfrac{\pi}{x}}$，当 $x=\dfrac{1}{n}$ 时，$\sin \dfrac{\pi}{x}=0$，分母为零，函数无定义（间断）。
• 其他点连续：$\sin \dfrac{\pi}{x} \neq 0$ 时，函数连续。

(4) 只在 $x=0$ 右连续，其他点不连续的函数

构造方法：

• 整数点：定义 $f(x)=x$（在 $[0,1]$ 中仅 $x=0$ 和 $x=1$）。
• 非整数点：定义 $f(x)=0$。
• 连续性分析：
  • $x=0$ 右连续：当 $x \to 0^+$ 时，$f(x)=0$，极限值等于 $f(0)=0$。
  • 其他点不连续：
    • $x=1$ 处左极限为 $0$，但 $f(1)=1$，不连续。
    • 非整数点 $x \neq 0$ 处，函数值为 $0$，但极限值为 $0$，此处构造存在争议（实际应调整为更精确的构造，如分段有理数/无理数定义）。