给定以下4个命题① 若lim f(x) = a，且lim varphi(x) = 0，则lim [f cdot varphi](x) = a。② 若f(x)在x=0处连续，且lim varphi(x) = 0，则lim [f cdot varphi](x) = 0。③ 若lim f(x) = a，且lim (varphi(x))/(x) = 1，则lim [f cdot varphi](x) = a。④ 若lim f(x) = a，且极限lim (varphi(x))/(x)存在，则lim [f cdot varphi](x) = a。其中真命题个数为（ ）(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

我们来逐个分析这4个命题的真假，注意这些极限都是在 $ x \to 0 $ 的情形下讨论的（虽然题目没有明确写出，但从上下文看，极限应是在某一点，尤其是 $ x \to 0 $ 附近，因为出现了 $ \frac{\varphi(x)}{x} $，所以默认是 $ x \to 0 $）。

命题①：

> 若 $ \lim f(x) = a $，且 $ \lim \varphi(x) = 0 $，则 $ \lim [f \cdot \varphi](x) = a $。

我们来分析这个命题。

已知：

• $ \lim f(x) = a $
• $ \lim \varphi(x) = 0 $

那么根据极限的乘法法则：
$\lim [f(x)\cdot\varphi(x)] = \lim f(x) \cdot \lim \varphi(x) = a \cdot 0 = 0$
但命题说极限是 $ a $，这显然不对（除非 $ a = 0 $，但 $ a $ 是任意的）。

反例：令 $ f(x) = 2 $，$ \varphi(x) = x $，当 $ x \to 0 $ 时，

• $ \lim f(x) = 2 $
• $ \lim \varphi(x) = 0 $
• $ \lim [f \cdot \varphi](x) = \lim 2x = 0 \ne 2 $

所以命题① 错误。

命题②：

> 若 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，且 $ \lim \varphi(x) = 0 $，则 $ \lim [f \cdot \varphi](x) = 0 $。

注意：这里 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，说明 $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $。

又 $ \lim_{x \to 0} \varphi(x) = 0 $。

我们要求 $ \lim_{x \to 0} f(x)\varphi(x) $。

由于 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，说明在 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) \to f(0) $，即 $ f(x) $ 在0附近有界（局部有界性），且极限存在。

于是：
$\lim_{x \to 0} f(x)\varphi(x) = \left( \lim_{x \to 0} f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \varphi(x) \right) = f(0) \cdot 0 = 0$
所以极限是0。

因此命题② 正确。

（注意：这里连续性保证了 $ f(x) $ 在0附近行为良好，极限存在，所以乘积极限可拆。）

命题③：

> 若 $ \lim f(x) = a $，且 $ \lim \frac{\varphi(x)}{x} = 1 $，则 $ \lim [f \cdot \varphi](x) = a $。

我们分析这个。

已知：

• $ \lim f(x) = a $
• $ \lim_{x \to 0} \frac{\varphi(x)}{x} = 1 $，说明 $ \varphi(x) \sim x $，即 $ \varphi(x) \to 0 $，且 $ \varphi(x) \approx x $

我们要求 $ \lim f(x)\varphi(x) $

因为 $ f(x) \to a $，$ \varphi(x) \to 0 $，所以 $ f(x)\varphi(x) \to a \cdot 0 = 0 $，而不是 $ a $。

命题说极限是 $ a $，这显然不对。

反例：令 $ f(x) = 1 $，$ \varphi(x) = x $，则

• $ \lim f(x) = 1 = a $
• $ \lim \frac{\varphi(x)}{x} = \lim \frac{x}{x} = 1 $
• $ \lim [f \cdot \varphi](x) = \lim x = 0 \ne 1 = a $

所以命题③ 错误。

命题④：

> 若 $ \lim f(x) = a $，且极限 $ \lim \frac{\varphi(x)}{x} $ 存在，则 $ \lim [f \cdot \varphi](x) = a $。

我们来分析。

设 $ \lim_{x \to 0} \frac{\varphi(x)}{x} = L $，存在。

那么 $ \varphi(x) = x \cdot \frac{\varphi(x)}{x} \Rightarrow \varphi(x) \to 0 \cdot L = 0 $

所以 $ \varphi(x) \to 0 $

又 $ f(x) \to a $，所以
$\lim f(x)\varphi(x) = \lim f(x) \cdot \lim \varphi(x) = a \cdot 0 = 0$
但命题说极限是 $ a $，除非 $ a = 0 $，否则不成立。

反例：令 $ f(x) = 2 $，$ \varphi(x) = x $，则

• $ \lim f(x) = 2 $
• $ \lim \frac{\varphi(x)}{x} = 1 $，存在
• $ \lim [f \cdot \varphi](x) = \lim 2x = 0 \ne 2 $

所以命题④ 错误。

总结：

• ① 错误
• ② 正确
• ③ 错误
• ④ 错误

真命题只有1个。

答案： $ \boxed{\text{(B) }1} $