设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"-y'+2=0,当曲线=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.

考查要点：本题综合考查微分方程求解、定积分应用（面积与旋转体体积）。
解题思路：

1. 解微分方程：通过变量替换降阶，求出通解，利用初始条件确定常数；
2. 面积条件：通过积分计算区域面积，进一步确定未知常数；
3. 旋转体体积：利用washer method（圆盘法），将体积表示为外体积与内体积之差，通过分部积分求解。

破题关键：

• 变量替换降阶：令$p = y'$，将二阶方程转化为一阶方程；
• 正确应用面积条件：明确积分上下限与被积函数；
• 体积计算方法选择：通过分析几何形状，选择washer method简化计算。

1. 解微分方程

令$p = y'$，则原方程$xy'' - y' + 2 = 0$变为：
$x \frac{dp}{dx} - p + 2 = 0 \implies \frac{dp}{dx} = \frac{p - 2}{x}$
分离变量积分：
$\int \frac{dp}{p - 2} = \int \frac{dx}{x} \implies \ln|p - 2| = \ln x + C \implies p = Cx + 2$
积分得通解：
$y = \int (Cx + 2) dx = \frac{C}{2}x^2 + 2x + C_1$
整理为：
$y = C_2 x^2 + 2x + C_1 \quad (\text{其中} C_2 = C/2)$

2. 确定常数

过原点条件：当$x = 0$时，$y = 0$，代入得$C_1 = 0$，通解简化为：
$y = C_2 x^2 + 2x$

面积条件：区域$D$的面积为$\int_0^1 y(x) dx = 2$，代入得：
$\int_0^1 (2x + C_2 x^2) dx = \left[ x^2 + \frac{C_2}{3}x^3 \right]_0^1 = 1 + \frac{C_2}{3} = 2 \implies C_2 = 3$
最终解为：
$y = 2x + 3x^2$

3. 计算旋转体体积

washer method：

• 外体积：由$x = 1$到$y = 5$形成的圆柱体积为$\pi \cdot 1^2 \cdot 5 = 5\pi$；
• 内体积：由曲线$y = 2x + 3x^2$围成的体积，需将$x$表示为$y$的函数：
  $x = \frac{\sqrt{1 + 3y} - 1}{3}$
  积分计算：
  $V_1 = \pi \int_0^5 x^2 dy = \frac{\pi}{9} \int_0^5 \left( 2 + 3y - 2\sqrt{1 + 3y} \right) dy$
  分项积分后得$V_1 = \frac{13}{6}\pi$；
• 总旋转体体积：
  $V = 5\pi - V_1 = 5\pi - \frac{13}{6}\pi = \frac{17}{6}\pi$