题目

12.设函数 (z)=dfrac ({z)^2-1}({z)^2sin (z)} 则其在 z=0 处的留数是-|||-A.0;B.πi;C. 5/6; 2/3 ;

$\begin{aligned}&\text{12. 设函数 }f\left(z\right)=\frac{z^{2}-1}{z^{2}\sin\left(z\right)}\text{,则其在 z=0 处的留数是}\\&\text{A. 0; B. }\pi i; C.\frac{5}{6};.\frac{2}{3}\quad;\end{aligned}$

题目解答

答案

首先，展开分子和分母：

分子 $(z^2-1)$ 在 ( z = 0 ) 处的值为 ( -1 )。

分母 $(z^2\sin(z))$ 在 ( z = 0 ) 处的展开为 $(z^3-\frac{z^5}{6}+O(z^7))$ ，所以在 ( z = 0 ) 处的值为 ( 0 )。

因此，( f(z) ) 在 ( z = 0 ) 处的留数计算公式为：

$[\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}z\cdot\frac{z^2-1}{z^2\sin(z)}=\lim_{z\to0}\frac{z^2-1}{z\sin(z)}]$

利用洛必达法则求极限：

$[\lim_{z\to0}\frac{2z}{\cos(z)-z\sin(z)}=\frac{2\cdot0}{1-0}=0]$

所以，函数 $(f(z)=\frac{z^2-1}{z^2\sin(z)})$ 在 ( z = 0 ) 处的留数是0。选A