题目

2.设二维随机变量(X,Y)概率密度为 f(x,y)= ) 4.8y(2-x),0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant x, 0, .-|||-(1)求边缘概率密度fx(x),fr(y).-|||-(2)X与Y是否独立?试说明理由.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度求解及随机变量独立性的判断。

解题思路：

  1. 边缘概率密度：通过联合概率密度对另一变量积分得到。注意积分限由联合密度的定义域确定。
  2. 独立性判断：验证联合密度是否等于边缘密度的乘积。若存在某点不满足，则不独立。

关键点：

  • 积分限的确定：根据联合密度的定义域（$0 \leq y \leq x \leq 1$），确定对$x$或$y$的积分上下限。
  • 独立性条件：若$f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，则$X$与$Y$不独立。

第（1）题

求$f_X(x)$

步骤：

  1. 确定积分范围：由$0 \leq y \leq x$，对$y$从$0$到$x$积分。
  2. 积分计算：
    $f_X(x) = \int_{0}^{x} 4.8y(2-x) \, dy = 4.8(2-x) \int_{0}^{x} y \, dy = 4.8(2-x) \cdot \frac{x^2}{2} = 2.4x^2(2-x)$
  3. 定义域：$0 \leq x \leq 1$，否则为$0$。

求$f_Y(y)$

步骤：

  1. 确定积分范围：由$y \leq x \leq 1$，对$x$从$y$到$1$积分。
  2. 积分计算：
    $f_Y(y) = \int_{y}^{1} 4.8y(2-x) \, dx = 4.8y \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{y}^{1} = 4.8y \left( 1.5 - 2y + \frac{y^2}{2} \right) = 2.4y(3 - 4y + y^2)$
  3. 定义域：$0 \leq y \leq 1$，否则为$0$。

第（2）题

判断独立性：

  1. 验证乘积关系：若$X$与$Y$独立，则$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。
  2. 举例验证：取$x=0.5$，$y=0.3$：
    • $f(0.5,0.3) = 4.8 \cdot 0.3 \cdot (2-0.5) = 2.16$
    • $f_X(0.5) = 2.4 \cdot 0.5^2 \cdot (2-0.5) = 0.9$
    • $f_Y(0.3) = 2.4 \cdot 0.3 \cdot (3-4 \cdot 0.3 + 0.3^2) \approx 1.3608$
    • $f_X(0.5)f_Y(0.3) \approx 0.9 \cdot 1.3608 \approx 1.2247 \neq 2.16$
  3. 结论：$f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，故$X$与$Y$不独立。