题目

(45)设数列x_{n)}满足x_(1)=1,x_(n+1)=(x_(n)+2)/(x_(n)+1)(n=1,2,...),试证lim_(ntoinfty)x_(n)=sqrt(2).

(45)设数列$\{x_{n}\}$满足$x_{1}=1,x_{n+1}=\frac{x_{n}+2}{x_{n}+1}(n=1,2,\cdots)$,试证$\lim_{n\to\infty}x_{n}=\sqrt{2}$.

题目解答

答案

假设数列极限存在，记为 $L$，则由递推公式 $x_{n+1} = \frac{x_n + 2}{x_n + 1}$，取极限得： \[ L = \frac{L + 2}{L + 1} \implies L^2 = 2 \implies L = \sqrt{2} \quad (\text{因 } x_n > 0) \] 接下来证明数列有界且收敛。由 $x_1 = 1$，易知 $1 \leq x_n < 2$。考虑： \[ x_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{(1 - \sqrt{2})(x_n - \sqrt{2})}{x_n + 1} \] 由于 $1 - \sqrt{2} < 0$，$x_{n+1} - \sqrt{2}$ 与 $x_n - \sqrt{2}$ 异号，数列在 $\sqrt{2}$ 附近振荡收敛。 **答案：** $\boxed{\sqrt{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查递推数列的极限求解，涉及极限存在性的证明和递推关系的应用。关键在于通过假设极限存在求出可能的极限值，并进一步证明数列的收敛性。

解题思路：

  1. 假设极限存在，代入递推公式求出可能的极限值。
  2. 证明数列有界，通常采用数学归纳法。
  3. 分析数列收敛性，可通过误差递推或分奇偶项讨论单调性，结合夹逼定理完成证明。

破题关键：

  • 极限方程的建立与求解。
  • 有界性的数学归纳法证明。
  • 误差分析或单调有界定理的应用。

步骤1：假设极限存在并求解

假设数列$\{x_n\}$的极限为$L$，则递推公式两边取极限得：
$L = \frac{L + 2}{L + 1}$
整理得方程：
$L^2 = 2 \implies L = \sqrt{2} \quad (\text{因} \ x_n > 0)$

步骤2：证明数列有界

数学归纳法证明$1 \leq x_n < 2$：

  • 基础情形：$x_1 = 1$，满足$1 \leq x_1 < 2$。
  • 归纳假设：假设$x_k \in [1, 2)$，则：
    $x_{k+1} = \frac{x_k + 2}{x_k + 1}$
    • 当$x_k = 1$时，$x_{k+1} = \frac{3}{2} = 1.5$；
    • 当$x_k \to 2$时，$x_{k+1} \to \frac{4}{3} \approx 1.333$；
    • 因此$x_{k+1} \in \left( \frac{4}{3}, \frac{3}{2} \right) \subset [1, 2)$。
  • 结论：数列$\{x_n\}$有界，$1 \leq x_n < 2$。

步骤3：分析收敛性

构造误差递推式：
$x_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{(1 - \sqrt{2})(x_n - \sqrt{2})}{x_n + 1}$

  • 系数分析：$1 - \sqrt{2} \approx -0.414$，绝对值小于1；分母$x_n + 1 \geq 2$，故整体系数绝对值为$\frac{\sqrt{2} - 1}{2} < 1$。
  • 误差衰减：误差项绝对值随$n$增大指数级减小，说明$\{x_n\}$收敛于$\sqrt{2}$。