设α1,α2是线性方程组Ax = b的解,η是对应齐次线性方程组Ax = 0的解,则( )A. η + α1是Ax = 0的解B. η + (α1 - α2) 是Ax = 0的解C. α1 + α2是Ax = b的解D. α1 - α2 是Ax = b的解

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的结构及其与对应齐次方程解的关系。

解题核心思路：

1. 非齐次方程解的差是齐次方程的解：若α₁和α₂是Ax = b的解，则α₁ - α₂是Ax = 0的解。
2. 齐次方程解的线性组合仍是齐次方程的解：若η是Ax = 0的解，且α₁ - α₂也是Ax = 0的解，则它们的和η + (α₁ - α₂)仍属于齐次方程的解空间。

破题关键点：

• 明确区分非齐次方程和齐次方程解的性质，避免混淆。
• 通过代数运算验证各选项是否满足方程。

选项分析：

1. 选项A：η + α₁是否是Ax = 0的解？

   • 代入验证：
     $A(\eta + \alpha_1) = A\eta + A\alpha_1 = 0 + b = b \neq 0$
     因此选项A错误。

2. 选项B：η + (α₁ - α₂)是否是Ax = 0的解？

   • 代入验证：
     $A[\eta + (\alpha_1 - \alpha_2)] = A\eta + A(\alpha_1 - \alpha_2) = 0 + (A\alpha_1 - A\alpha_2) = b - b = 0$
     因此选项B正确。

3. 选项C：α₁ + α₂是否是Ax = b的解？

   • 代入验证：
     $A(\alpha_1 + \alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = b + b = 2b \neq b$
     因此选项C错误。

4. 选项D：α₁ - α₂是否是Ax = b的解？

   • 由非齐次方程解的性质可知，α₁ - α₂是齐次方程的解，即：
     $A(\alpha_1 - \alpha_2) = 0 \neq b$
     因此选项D错误。