五、(14分)设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分-|||-=iint ((x)^3-x)dxdz+(2(y)^3-y)dxdx+(3(z)^3-z)dxdy.-|||-∑-|||-试确定曲面∑,使得积分I的值最小,并求该最小值.

步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，将曲面积分转换为体积积分。给定的曲面积分是 $I=\iint ({x}^{3}-x)dwolz+(2{y}^{3}-y)d2dx+(3{z}^{3}-z)dxdy$，其中 $dwolz$、$d2dx$ 和 $dxdy$ 分别是曲面∑的微分面积元素。应用高斯公式，我们有：
$$
I = \iiint_V \left( \frac{\partial}{\partial x}({x}^{3}-x) + \frac{\partial}{\partial y}(2{y}^{3}-y) + \frac{\partial}{\partial z}(3{z}^{3}-z) \right) dV
$$
步骤 2：计算偏导数
计算上述偏导数，我们得到：
$$
\frac{\partial}{\partial x}({x}^{3}-x) = 3{x}^{2}-1
$$
$$
\frac{\partial}{\partial y}(2{y}^{3}-y) = 6{y}^{2}-1
$$
$$
\frac{\partial}{\partial z}(3{z}^{3}-z) = 9{z}^{2}-1
$$
步骤 3：代入偏导数并简化
将上述偏导数代入高斯公式中，我们得到：
$$
I = \iiint_V (3{x}^{2} + 6{y}^{2} + 9{z}^{2} - 3) dV
$$
步骤 4：确定积分区域
为了使积分I的值最小，我们需要确定一个积分区域V，使得 $3{x}^{2} + 6{y}^{2} + 9{z}^{2} - 3$ 在V内尽可能小。显然，当 $3{x}^{2} + 6{y}^{2} + 9{z}^{2} - 3 \leq 0$ 时，积分I的值最小。因此，我们选择V为椭球体，其方程为 ${x}^{2} + 2{y}^{2} + 3{z}^{2} = 1$。
步骤 5：计算积分
为了计算积分I，我们使用球坐标变换。设 $x = u$，$y = v/\sqrt{2}$，$z = w/\sqrt{3}$，则有 $\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} = \frac{1}{\sqrt{6}}$。因此，积分I可以表示为：
$$
I = \frac{3}{\sqrt{6}} \iiint_{u^2 + v^2 + w^2 \leq 1} (u^2 + v^2 + w^2 - 1) dudvdw
$$
步骤 6：使用球坐标计算积分
使用球坐标变换，我们有：
$$
I = \frac{3}{\sqrt{6}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} (r^2 - 1) r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi
$$
步骤 7：计算积分值
计算上述积分，我们得到：
$$
I = \frac{3}{\sqrt{6}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} (r^4 - r^2) \sin \theta dr d\theta d\phi = -\frac{4\sqrt{6}}{15}\pi
$$