3.2 计算积分 (int )_(c)dfrac (overline {z)}(|z|)dz 的值,其中C为(1) |z|=2 ;(2) |z|=4. .

考查要点：本题主要考查复变函数沿闭曲线的积分计算，涉及复数共轭、模长的参数化处理，以及利用参数方程法计算复积分。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：将圆周路径$|z|=r$表示为$z(t)=r e^{it}$，其中$t \in [0, 2\pi)$。
2. 化简被积函数：利用共轭复数$\overline{z}=r e^{-it}$和模长$|z|=r$，将被积函数转化为关于$t$的表达式。
3. 计算积分：通过参数替换，将复积分转化为关于$t$的实积分，最终得到结果。

破题关键点：

• 正确参数化：确保$z(t)$和$dz$的表达式正确。
• 化简技巧：利用指数形式简化共轭复数与模长的运算。
• 积分计算：注意积分区间和复数单位$i$的处理。

第（1）题：$|z|=2$

1. 参数化曲线：
   设$z(t)=2 e^{it}$，其中$t \in [0, 2\pi]$，则$dz = i \cdot 2 e^{it} dt$。

2. 化简被积函数：

   • $\overline{z} = 2 e^{-it}$，$|z|=2$，故$\dfrac{\overline{z}}{|z|} = \dfrac{2 e^{-it}}{2} = e^{-it}$。
   • 被积函数变为$e^{-it} \cdot i \cdot 2 e^{it} = 2i$。

3. 计算积分：
   $\int_{C} \dfrac{\overline{z}}{|z|} dz = \int_{0}^{2\pi} 2i \, dt = 2i \cdot 2\pi = 4\pi i$

第（2）题：$|z|=4$

1. 参数化曲线：
   设$z(t)=4 e^{it}$，其中$t \in [0, 2\pi]$，则$dz = i \cdot 4 e^{it} dt$。

2. 化简被积函数：

   • $\overline{z} = 4 e^{-it}$，$|z|=4$，故$\dfrac{\overline{z}}{|z|} = \dfrac{4 e^{-it}}{4} = e^{-it}$。
   • 被积函数变为$e^{-it} \cdot i \cdot 4 e^{it} = 4i$。

3. 计算积分：
   $\int_{C} \dfrac{\overline{z}}{|z|} dz = \int_{0}^{2\pi} 4i \, dt = 4i \cdot 2\pi = 8\pi i$