题目

已知 y = ln cos 3x，求 dy.

已知 $y = \ln \cos 3x$，求 $dy$.

题目解答

答案

我们来解决题目：已知 $ y = \ln \cos 3x $，求 $ dy $。 --- ### 第一步：理解题目 题目要求我们求的是 $ dy $，也就是函数 $ y = \ln \cos 3x $ 的微分。 --- ### 第二步：求导 我们先求 $ y = \ln \cos 3x $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $，然后再乘以 $ dx $ 得到 $ dy $。 我们使用**链式法则**来求导： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \ln \cos 3x \right) $$ 设 $ u = \cos 3x $，那么： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (\ln u) \cdot \frac{du}{dx} $$ $$ = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{dx} (\cos 3x) $$ $$ = \frac{1}{\cos 3x} \cdot (-\sin 3x) \cdot 3 $$ $$ = -3 \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = -3 \tan 3x $$ --- ### 第三步：写出微分 $ dy $ 微分 $ dy $ 是导数乘以 $ dx $，即： $$ dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx = -3 \tan 3x \, dx $$ --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{dy = -3 \tan 3x \, dx} $$

解析

考查要点：本题主要考查复合函数的微分法，涉及链式法则的应用，以及对数函数和三角函数的导数计算。

解题核心思路：

  1. 识别复合结构：函数 $y = \ln \cos 3x$ 是由外层对数函数、中间余弦函数和内层线性函数 $3x$ 嵌套而成。
  2. 分层求导：利用链式法则，逐层求导后相乘，最终乘以 $dx$ 得到微分 $dy$。
  3. 化简表达式：将导数结果转化为更简洁的三角函数形式（如 $\tan 3x$）。

破题关键点：

  • 正确应用链式法则，逐层求导并注意符号和系数。
  • 导数与微分的关系：微分 $dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx$，需在求导后补充 $dx$。

步骤1：求导数 $\frac{dy}{dx}$

设 $u = \cos 3x$，则 $y = \ln u$。
根据链式法则：
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (-3 \sin 3x) = -\frac{3 \sin 3x}{\cos 3x}.$

步骤2：化简导数

利用 $\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}$，得：
$\frac{dy}{dx} = -3 \tan 3x.$

步骤3：写出微分 $dy$

根据微分定义 $dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx$，代入导数结果：
$dy = -3 \tan 3x \, dx.$