13、设二随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=}e^-(x+y),x>0,y>0,0,其他,D. E(XY)=1.

本题主要考查二维随机变量的边缘密度函数、相关系数、和的密度函数以及数学期望的计算。解题思路是根据相应的定义和公式，分别对每个选项进行分析计算。

选项A

根据边缘密度函数的定义，对于二维随机变量$(X,Y)$，$X$的边缘密度函数$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
已知联合密度函数$f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，当$x\gt0$时：
$\begin{align*}f_X(x)&=\int_{0}^{+\infty}e^{-(x+y)}dy\\&=e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy\\&=e^{-x}\left[-e^{-y}\right]_0^{+\infty}\\&=e^{-x}(0 - (-1))\\&=e^{-x}\end{align*}$
当$x\leq0$时，$f(x,y)=0$，所以$f_X(x)=0$。
因此，$X$的边缘密度函数为$f_{X}(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，选项A正确。

选项B

要计算相关系数$\rho_{XY}$，需要先判断$X$和$Y$是否相互独立。
由选项A可知$X$的边缘密度函数$f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，同理可得$Y$的边缘密度函数$f_Y(y)=\begin{cases}e^{-y},&y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
因为$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，所以$X$和$Y$相互独立。
对于相互独立的随机变量，其相关系数$\rho_{XY}=0$，选项B正确。

选项C

已知$Z = X + Y$，根据卷积公式$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z - x)dx$。
由前面计算可知$f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases}e^{-y},&y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$f_Y(z - x)=\begin{cases}e^{-(z - x)},&z - x\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
当$z\gt0$时：
$\begin{align*}f_Z(z)&=\int_{0}^{z}e^{-x}e^{-(z - x)}dx\\&=e^{-z}\int_{0}^{z}dx\\&=e^{-z}\cdot x\big|_0^z\\&=ze^{-z}\end{align*}$
当$z\leq0$时，$f_X(x)f_Y(z - x)=0$，所以$f_Z(z)=0$。
因此，$Z = X + Y$的密度函数为$f_{Z}(z)=\begin{cases}ze^{-z},&z\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，选项C正确。

选项D

根据数学期望的定义，$E(XY)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy$。
$\begin{align*}E(XY)&=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}xy e^{-(x+y)}dxdy\\&=\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx\int_{0}^{+\infty}y e^{-y}dy\end{align*}$
利用分部积分法$\int_{0}^{+\infty}t e^{-t}dt = -t e^{-t}\big|_0^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt = 0 + (-e^{-t})\big|_0^{+\infty}= 1$。
所以$E(XY)=1\times1 = 1$，选项D正确。