题目

5.已知某射手的射击命中率为 4/5 现其对一目标射击,分别以 X,Y 表示直到第一次、第-|||-二次命中为止所进行的射击次数,试求:"X取奇数", =(6)^39 的概率.

题目解答

本题考查独立重复试验的概率计算。解题的关键在于理解随机变量$X$和$Y$的含义，分别计算“$X$取奇数”和“$Y = 6$”的概率。

1. 计算“$X$取奇数”的概率

随机变量$X$表示直到第一次命中为止所进行的射击次数，$X$取奇数意味着第一次射击未命中，第二次射击未命中，第三次射击命中；或者第一次射击未命中，第二次射击未命中，第三次射击未命中，第四次射击未命中，第五次射击命中，以此类推。
已知射手的射击命中率为$p = \dfrac{4}{5}$，则未命中率为$q = 1 - p = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$。
$X = 1$时，即第一次就命中，概率$P(X = 1)=\dfrac{4}{5}$；
$X = 3$时，即前两次未命中，第三次命中，概率$P(X = 3)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\times\dfrac{4}{5}$；
$X = 5$时，即前四次未命中，第五次命中，概率$P(X = 5)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^4\times\dfrac{4}{5}$；
$\cdots$
所以$P(X$取奇数$) = P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = 5) + \cdots$
$=\dfrac{4}{5}+\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\times\dfrac{4}{5}+\left(\dfrac{1}{5}\right)^4\times\dfrac{4}{5}+\cdots$
这是一个首项$a_1 = \dfrac{4}{5}$，公比$q_1 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2=\dfrac{1}{25}$的无穷等比数列求和。
根据无穷等比数列求和公式$S = \dfrac{a_1}{1 - q_1}$（$\vert q_1\vert\lt 1$），可得：
$P(X$取奇数$)=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1 - \dfrac{1}{25}}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{25}{24}=\dfrac{5}{6}$。

2. 计算“$Y = 6$”的概率

随机变量$Y$表示直到第二次命中为止所进行的射击次数，$Y = 6$意味着前$5$次射击中有$1$次命中，第$6$次射击命中。
从$5$次射击中选$1$次命中的组合数为$C_{5}^1$，根据组合数公式$C_{n}^m=\dfrac{n!}{m!(n - m)!}$，可得$C_{5}^1=\dfrac{5!}{1!(5 - 1)!}=\dfrac{5!}{1!4!}= 5$。
前$5$次射击中有$1$次命中，每次命中概率为$\dfrac{4}{5}$，未命中概率为$\dfrac{1}{5}$，所以前$5$次射击中有$1$次命中的概率为$C_{5}^1\times\left(\dfrac{4}{5}\right)^1\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^{5 - 1}= 5\times\dfrac{4}{5}\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^4$。
第$6$次射击命中的概率为$\dfrac{4}{5}$。
所以$P(Y = 6)=C_{5}^1\times\left(\dfrac{4}{5}\right)^1\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^{5 - 1}\times\dfrac{4}{5}= 5\times\dfrac{4}{5}\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^4\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{625}$。