16.求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {1+xsin x)-sqrt (cos x)}({x)^2}

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理根号相减的有理化技巧，以及利用常见极限公式进行化简的能力。

解题核心思路：
当分子为两个根号相减时，通常通过分子有理化消除根号，将原式转化为更易处理的形式。随后，结合常见极限公式（如$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$和$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）进行分步计算。

破题关键点：

1. 分子有理化：通过乘以共轭表达式，将分子转化为多项式形式。
2. 拆分极限：将化简后的表达式拆分为两个部分，分别计算各自的极限值。
3. 代入已知极限：利用基本极限公式简化计算过程。

步骤1：分子有理化
原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {1+x\sin x}-\sqrt {\cos x}}{{x}^{2}}$
将分子乘以共轭表达式$\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x}$，分母同步乘以相同表达式：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{1+x\sin x} - \sqrt{\cos x})(\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x})}{x^2 (\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x})} \\&= \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{(1 + x\sin x) - \cos x}{x^2 (\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x})}.\end{aligned}$

步骤2：化简分子
分子部分展开为：
$1 + x\sin x - \cos x = (1 - \cos x) + x\sin x.$
因此，原式变为：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos x + x\sin x}{x^2 (\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x})}.$

步骤3：拆分极限
将表达式拆分为两部分：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos x + x\sin x}{x^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x}}.$
分别计算两部分的极限：

1. 第一部分：
   $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} + \dfrac{x\sin x}{x^2} = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}.$
   （利用$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$和$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）
2. 第二部分：
   $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt{1+x\sin x} + \sqrt{\cos x}} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}.$

步骤4：合并结果
两部分相乘得：
$\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}.$