题目

3.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布(λ>0)，且已知E[(X-2)(X-3)]=2，则λ=_____.

3.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布(λ>0)，且已知E[(X-2)(X-3)]=2，则λ=_____.

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，已知 $E[(X-2)(X-3)]=2$。
展开并利用期望的线性性质：
$E[(X-2)(X-3)] = E[X^2 - 5X + 6] = E[X^2] - 5E[X] + 6$
由泊松分布性质，$E[X] = \lambda$，$E[X^2] = \lambda + \lambda^2$，代入得：
$\lambda + \lambda^2 - 5\lambda + 6 = \lambda^2 - 4\lambda + 6$
令其等于 2，解方程：
$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (\lambda - 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2$
答案： $\boxed{2}$

解析

本题考查泊松分布的期望性质以及期望的线性性质，解题思路是先将$E[(X - 2)(X - 3)]$展开，再利用期望的线性性质将其转化为$E[X^2]$与$E[X]$的表达式，然后根据泊松分布的期望性质求出$E[X]$与$E[X^2]$，代入表达式得到关于$\lambda$的方程，最后解方程求出$\lambda$的值。

  1. 展开$E[(X - 2)(X - 3)]$：
    根据多项式乘法法则将$(X - 2)(X - 3)$展开，可得$(X - 2)(X - 3)=X^2 - 5X + 6$，所以$E[(X - 2)(X - 3)] = E[X^2 - 5X + 6]$。
  2. 利用期望的线性性质化简$E[X^2 - 5X + 6]$：
    期望的线性性质为$E(aX + bY + c)=aE(X)+bE(Y)+c$（$a,b,c$为常数），对于$E[X^2 - 5X + 6]$，其中$a = 1$，$b = -5$，$c = 6$，则$E[X^2 - 5X + 6]=E[X^2] - 5E[X] + 6$。
  3. 根据泊松分布的期望性质求出$E[X]$与$E[X^2]$：
    若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，则$E[X] = \lambda$，$D[X] = \lambda$。
    根据方差的计算公式$D[X]=E[X^2]-(E[X])^2$，可得$E[X^2]=D[X]+(E[X])^2$，将$E[X] = \lambda$，$D[X] = \lambda$代入可得$E[X^2] = \lambda + \lambda^2$。
  4. 将$E[X]$与$E[X^2]$代入$E[X^2] - 5E[X] + 6$得到关于$\lambda$的方程：
    把$E[X] = \lambda$，$E[X^2] = \lambda + \lambda^2$代入$E[X^2] - 5E[X] + 6$，可得$\lambda + \lambda^2 - 5\lambda + 6 = \lambda^2 - 4\lambda + 6$。
  5. 解方程求出$\lambda$的值：
    已知$E[(X - 2)(X - 3)] = 2$，即$\lambda^2 - 4\lambda + 6 = 2$，移项可得$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$。
    根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对$\lambda^2 - 4\lambda + 4$进行因式分解，可得$(\lambda - 2)^2 = 0$，则$\lambda - 2 = 0$，解得$\lambda = 2$。