【题目】设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3).试求:(1)常数A,B,C的值;(2)(X,Y)的联合密度函数

考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合分布函数性质及联合密度函数的求解方法。

解题思路：

1. 确定常数A、B、C：利用联合分布函数的极限性质，当$x \to +\infty$且$y \to +\infty$时，$F(x,y)=1$；当$x \to -\infty$或$y \to -\infty$时，$F(x,y)=0$。通过分析$\arctan$函数的极限值，确定$B$和$C$的值，再代入极限条件求解$A$。
2. 求联合密度函数：联合密度函数是分布函数的二阶混合偏导数，即$f(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}$。通过对$F(x,y)$分别对$x$和$y$求偏导，结合已求得的常数，化简得到最终结果。

关键点：

• 分布函数的极限性质是求解常数的核心依据。
• 偏导数的计算需注意$\arctan$函数的导数形式。

第（1）题：求常数$A$、$B$、$C$

分析$x \to -\infty$时的极限

当$x \to -\infty$时，$\arctan(x/2) \to -\pi/2$，此时$F(x,y)=A(B - \pi/2)(C + \arctan(y/3))$。根据分布函数性质，此时$F(x,y)=0$，因此需满足：
$B - \frac{\pi}{2} = 0 \implies B = \frac{\pi}{2}.$

同理，当$y \to -\infty$时，$\arctan(y/3) \to -\pi/2$，需满足：
$C - \frac{\pi}{2} = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}.$

分析$x \to +\infty$且$y \to +\infty$时的极限

此时$\arctan(x/2) \to \pi/2$，$\arctan(y/3) \to \pi/2$，代入分布函数：
$F(+\infty, +\infty) = A \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = A \cdot \pi \cdot \pi = 1.$
解得：
$A = \frac{1}{\pi^2}.$

结论：$A = \frac{1}{\pi^2}$，$B = \frac{\pi}{2}$，$C = \frac{\pi}{2}$。

第（2）题：求联合密度函数$f(x,y)$

求二阶混合偏导数

联合密度函数为：
$f(x,y) = \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}.$

1. 对$x$求偏导：
   $\frac{\partial F}{\partial x} = A \cdot \frac{1}{2(1 + (x/2)^2)} \cdot \left( C + \arctan(y/3) \right).$

2. 对$y$求偏导：
   $\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = A \cdot \frac{1}{2(1 + (x/2)^2)} \cdot \frac{1}{3(1 + (y/3)^2)}.$

3. 代入常数并化简：
   将$A = \frac{1}{\pi^2}$代入，并整理分母：
   $f(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \left(1 + \frac{x^2}{4}\right)} \cdot \frac{1}{3 \cdot \left(1 + \frac{y^2}{9}\right)} = \frac{6}{\pi^2 (4 + x^2)(9 + y^2)}.$

结论：联合密度函数为$f(x,y) = \frac{6}{\pi^2 (4 + x^2)(9 + y^2)}$。