3.计算题证明u(x,y)=x^3-3xy^2为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数f(z)=u+iv，满足条件：f(0)=0.

为了证明 $ u(x, y) = x^3 - 3xy^2 $ 是调和函数，我们需要验证它满足拉普拉斯方程，即 $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $。 首先，我们计算 $ u $ 的偏导数： \[ u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 - 3xy^2) = 3x^2 - 3y^2, \] \[ u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 3y^2) = 6x, \] \[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - 3xy^2) = -6xy, \] \[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-6xy) = -6x. \] 现在，我们将 $ u_{xx} $ 和 $ u_{yy} $ 代入拉普拉斯方程： \[ u_{xx} + u_{yy} = 6x + (-6x) = 0. \] 由于 $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $，函数 $ u(x, y) $ 是调和函数。 接下来，我们需要找到 $ u $ 的共轭调和函数 $ v(x, y) $。共轭调和函数 $ v $ 必须满足柯西-黎曼方程： \[ u_x = v_y \quad \text{和} \quad u_y = -v_x. \] 从 $ u_x = v_y $，我们有： \[ v_y = 3x^2 - 3y^2. \] 对 $ y $ 积分两边，我们得到： \[ v(x, y) = \int (3x^2 - 3y^2) \, dy = 3x^2y - y^3 + g(x), \] 其中 $ g(x) $ 是 $ x $ 的任意函数。 现在，我们使用第二个柯西-黎曼方程 $ u_y = -v_x $： \[ u_y = -6xy \quad \text{和} \quad -v_x = -\frac{\partial}{\partial x}(3x^2y - y^3 + g(x)) = -6xy - g'(x). \] 将 $ u_y $ 和 $ -v_x $ 相等，我们得到： \[ -6xy = -6xy - g'(x). \] 这简化为： \[ 0 = -g'(x), \] 所以 $ g'(x) = 0 $。因此，$ g(x) $ 是一个常数。我们可以选择 $ g(x) = 0 $ 以简化，所以共轭调和函数是： \[ v(x, y) = 3x^2y - y^3. \] 现在，我们构造解析函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $： \[ f(z) = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3). \] 为了将 $ f(z) $ 表示为 $ z $ 的函数，我们使用 $ z = x + iy $ 的事实，所以 $ x = \frac{z + \overline{z}}{2} $ 和 $ y = \frac{z - \overline{z}}{2i} $。然而，由于 $ f(z) $ 是解析的，它不依赖于 $ \overline{z} $。我们可以直接识别 $ f(z) = z^3 $： \[ z^3 = (x + iy)^3 = x^3 + 3ix^2y + 3i^2xy^2 + i^3y^3 = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3). \] 因此，解析函数是： \[ f(z) = z^3. \] 最后，我们需要满足条件 $ f(0) = 0 $。由于 $ f(z) = z^3 $ 已经满足 $ f(0) = 0^3 = 0 $，解是： \[ \boxed{f(z) = z^3}. \]