题目

lim_(x to 0) ((1+x)^frac(2)/(x) - e^2)(x)

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2}{x}$

题目解答

答案

我们来求解这个极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2}{x} $$ --- ### 第一步：理解表达式结构 这个极限的形式是： $$ \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2}{x} $$ 当 $ x \to 0 $ 时，$ (1+x)^{\frac{2}{x}} $ 是一个经典的极限形式，我们先来分析一下这个部分。 --- ### 第二步：利用极限知识简化 我们先回忆一个重要的极限： $$ \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e $$ 所以： $$ \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = \left( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \right)^2 = e^2 $$ 所以，分子在 $ x \to 0 $ 时趋于 $ e^2 - e^2 = 0 $，分母也趋于 0，因此这是一个 **0/0** 型未定式，可以考虑使用洛必达法则。 --- ### 第三步：使用洛必达法则 我们设： $$ f(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}}, \quad g(x) = x $$ 我们要求： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - e^2}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - e^2}{x} $$ 使用洛必达法则，我们对分子和分母分别求导： #### 分子导数： 我们先求 $ f(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}} $ 的导数。 令： $$ f(x) = e^{\frac{2}{x} \ln(1+x)} $$ 利用链式法则： $$ f'(x) = e^{\frac{2}{x} \ln(1+x)} \cdot \left( \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x} \ln(1+x) \right) \right) $$ 我们来计算括号内的导数： $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x} \ln(1+x) \right) = 2 \cdot \left( \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \right) \right) $$ 使用商法则： $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} $$ 所以： $$ f'(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}} \cdot 2 \cdot \left( \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} \right) $$ 分母导数是 $ g'(x) = 1 $ --- ### 第四步：代入极限 根据洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2}{x} = \lim_{x \to 0} f'(x) $$ 我们已经求出： $$ f'(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}} \cdot 2 \cdot \left( \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} \right) $$ 我们来分别分析各部分在 $ x \to 0 $ 时的极限： 1. $ (1+x)^{\frac{2}{x}} \to e^2 $ 2. $ \frac{x}{1+x} \to 1 $ 3. $ \ln(1+x) \to x - \frac{x^2}{2} + \cdots $ 所以： $$ x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x) \approx 1 - \left(x - \frac{x^2}{2} \right) = 1 - x + \frac{x^2}{2} $$ 但这是不对的，因为： $$ \frac{x}{1+x} \approx x(1 - x + x^2 - \cdots) = x - x^2 + x^3 - \cdots $$ 而： $$ \ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$ 所以： $$ \frac{x}{1+x} - \ln(1+x) \approx (x - x^2 + x^3) - (x - \frac{x^2}{2} + \cdots) = -x^2 + \frac{x^2}{2} + \cdots = -\frac{x^2}{2} + \cdots $$ 所以整个表达式变成： $$ f'(x) \approx e^2 \cdot 2 \cdot \left( \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} \right) = e^2 \cdot 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -e^2 $$ --- ### 最终答案： $$ \boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2}{x} = -e^2 } $$ --- ### 总结： 我们通过洛必达法则和泰勒展开，分析了分子的导数，并最终得出极限值为 $ \boxed{-e^2} $。

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理形如$\frac{0}{0}$型未定式的方法，以及对指数函数展开的泰勒多项式的应用。

解题核心思路：

  1. 识别极限形式：当$x \to 0$时，分子$(1+x)^{\frac{2}{x}}$趋近于$e^2$，导致分子整体趋近于$0$，分母也趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$型未定式。
  2. 应用洛必达法则：对分子和分母分别求导，将原极限转化为分子导数与分母导数的比值。
  3. 对数求导法：处理复杂指数函数的导数，通过取对数简化运算。
  4. 泰勒展开：对关键部分$\frac{x}{1+x} - \ln(1+x)$进行展开，简化极限计算。

破题关键点：

  • 正确应用洛必达法则，注意分子导数的计算。
  • 泰勒展开的精度：保留到$x^2$项以保证计算准确性。

第一步：验证极限形式

当$x \to 0$时，$(1+x)^{\frac{2}{x}} \to e^2$，因此分子$(1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2 \to 0$，分母$x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型未定式，可使用洛必达法则。

第二步：应用洛必达法则

设分子为$f(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}} - e^2$，分母为$g(x) = x$，则原极限等价于：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} f'(x)$

第三步：求分子导数$f'(x)$

令$f(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}}$，取自然对数得：
$\ln f(x) = \frac{2}{x} \ln(1+x)$
对两边求导：
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x} \ln(1+x) \right)$
计算右侧导数：
$\frac{d}{dx} \left( \frac{2 \ln(1+x)}{x} \right) = 2 \cdot \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2}$
因此：
$f'(x) = (1+x)^{\frac{2}{x}} \cdot 2 \cdot \frac{\frac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2}$

第四步：代入泰勒展开

当$x \to 0$时，展开$\frac{x}{1+x}$和$\ln(1+x)$：
$\frac{x}{1+x} = x - x^2 + x^3 - \cdots, \quad \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$
因此：
$\frac{x}{1+x} - \ln(1+x) \approx (x - x^2) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right) = -\frac{x^2}{2}$

第五步：计算极限

将展开结果代入$f'(x)$：
$f'(x) \approx (1+x)^{\frac{2}{x}} \cdot 2 \cdot \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = (1+x)^{\frac{2}{x}} \cdot (-1)$
当$x \to 0$时，$(1+x)^{\frac{2}{x}} \to e^2$，故：
$\lim_{x \to 0} f'(x) = -e^2$