两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍。（1）求任取一个零件是合格品的概率：（2）如果取出的零件是不合格品，求它是第二台车床加工的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 确定各事件的概率关系：明确两台车床生产零件的比例及各自的合格/不合格概率。
2. 全概率公式：计算任取零件的合格概率时，需按比例加权两台车床的合格概率。
3. 贝叶斯公式：已知零件不合格时，反推其来自第二台车床的概率，需计算后验概率。

破题关键点：

• 比例转换：第一台零件数是第二台的两倍，故第一台占比$\frac{2}{3}$，第二台占比$\frac{1}{3}$。
• 合格概率计算：直接利用全概率公式对合格概率加权求和。
• 逆概率计算：通过贝叶斯公式，结合不合格品的总体概率进行比例分配。

第（1）题

目标：求任取一个零件是合格品的概率。

步骤1：定义事件与概率

• 设$A_1$为零件来自第一台车床，$A_2$为零件来自第二台车床。
• 由题意，$P(A_1) = \frac{2}{3}$，$P(A_2) = \frac{1}{3}$。
• 第一台合格概率$P(\text{合格}|A_1) = 1 - 0.03 = 0.97$，第二台合格概率$P(\text{合格}|A_2) = 1 - 0.06 = 0.94$。

步骤2：应用全概率公式

$P(\text{合格}) = P(A_1)P(\text{合格}|A_1) + P(A_2)P(\text{合格}|A_2)$
$= \frac{2}{3} \times 0.97 + \frac{1}{3} \times 0.94 = 0.96$

第（2）题

目标：已知零件不合格，求它来自第二台车床的概率。

步骤1：计算总不合格概率

$P(\text{不合格}) = 1 - P(\text{合格}) = 1 - 0.96 = 0.04$

步骤2：应用贝叶斯公式

$P(A_2|\text{不合格}) = \frac{P(A_2)P(\text{不合格}|A_2)}{P(\text{不合格})}$
$= \frac{\frac{1}{3} \times 0.06}{0.04} = \frac{0.02}{0.04} = 0.5$