若实对称矩阵与矩阵合同，则二次型的规范形为( )。A.B.C.D.

考查要点：本题主要考查实对称矩阵合同的性质、二次型规范形的求解方法，以及惯性定理的应用。

解题核心思路：

1. 合同矩阵的惯性指数相同：实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的正、负惯性指数。
2. 通过特征值确定惯性指数：实对称矩阵的正负惯性指数可通过其特征值的正负个数确定。
3. 规范形的构造：规范形由正惯性指数和负惯性指数决定，正项系数为1，负项系数为-1，其余省略。

破题关键点：

• 正确求解矩阵的特征值。
• 根据特征值的正负确定惯性指数。
• 根据惯性指数写出规范形。

步骤1：确定矩阵的特征值
设矩阵方程为 $|A - \lambda I| = 0$，展开行列式：
$-\lambda \left[ (2-\lambda)^2 - 1 \right] = 0$
化简得：
$-\lambda (\lambda^2 - 4\lambda + 3) = 0$
解得特征值为 $\lambda = 0, 1, 3$。

步骤2：分析惯性指数

• 正惯性指数：特征值中正数的个数为2（1和3）。
• 负惯性指数：特征值中负数的个数为0。

步骤3：构造规范形
根据惯性定理，规范形中正项系数为1，负项系数为-1，其余省略。因此规范形为：
$z_1^2 + z_2^2$