36、y^primeprime+y=0 y^primeprime+y=0的通解包含sin xsin x和cos xcos xA. 对B. 错

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的通解形式，以及三角函数平方项的表达式是否属于该通解空间。

解题核心思路：

1. 特征方程法：通过求解特征方程确定微分方程的通解形式。
2. 三角恒等式：将$\sin^2 x$和$\cos^2 x$转化为包含$\cos 2x$的表达式，判断其是否属于通解的线性组合范围。

破题关键点：

• 通解结构：方程$y'' + y = 0$的通解为$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$，仅包含$\cos x$和$\sin x$的一次项。
• 平方项的转化：$\sin^2 x$和$\cos^2 x$均包含$\cos 2x$项，而原方程的通解中无法生成$\cos 2x$，因此通解不包含平方项。

步骤1：求解微分方程的通解

微分方程$y'' + y = 0$的特征方程为：
$r^2 + 1 = 0$
解得特征根为：
$r = \pm i$
因此，通解为：
$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

步骤2：分析$\sin^2 x$和$\cos^2 x$的表达式

利用三角恒等式：
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
可见，$\sin^2 x$和$\cos^2 x$均包含$\cos 2x$项。

步骤3：判断是否属于通解空间

通解$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$中仅包含$\cos x$和$\sin x$的一次项，而$\cos 2x$对应的特征根为$\pm 2i$，与原方程的特征根$i$不同。因此，$\cos 2x$无法通过$\cos x$和$\sin x$的线性组合得到，通解不包含$\sin^2 x$和$\cos^2 x$。