题目

设为抛物旋转曲面与围成立体表面的外侧，求曲面积分

设 $\Sigma$ 为抛物旋转曲面 $z = x ^ 2 + y ^ 2$ 与 $z=1$ 围成立体表面的外侧，求曲面积分 $I=\underset{\Sigma}∯z^{2}dydz+x^{2}dzdx+\left(z^{3}+y^{2}\right)dxdy$

题目解答

答案

令 $D_z:x^2+y^2\le z$

$\begin{aligned} I&=\underset{\Sigma}∯z^{2}dydz+x^{2}dzdx+\left(z^{3}+y^{2}\right)dxdy \\ &=\underset{\Omega}{\operatorname*{\iiint}}3z^{2}\mathrm{d}v \\ &=3\int_{0}^{1}z^{2}\mathrm{d}z\iint\limits_{D_{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=3\int_{0}^{1}z^{2}\mathrm{d}z\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\sqrt{z}}r\mathrm{d}r \\ &=3\pi\int_{0}^{1}z^{3}\mathrm{d}z \\ &=\frac{3\pi}4 \end{aligned}$