2.作适当的变量变换求解下列方程:-|||-(1) dfrac (dy)(dx)=((x+y))^2 ;-|||-(2) dfrac (dy)(dx)=dfrac (1)({(x+y))^2} ;-|||-(3) dfrac (dy)(dx)=dfrac (2x-y+1)(x-2y+1) ;-|||-(4) dfrac (dy)(dx)=dfrac (x-y+5)(x-y-2) :-|||-(5) dfrac (dy)(dx)=((x+1))^2+((4y+1))^2+8xy+1 ;-|||-(6) dfrac (dy')(dx)=dfrac ({y)^6-2(x)^2}(2x{y)^5+(x)^2(y)^2} :-|||-(7) dfrac (dy)(dx)=dfrac (2{x)^3+3x(y)^2+x}(3{x)^2y+2(y)^3-y} .

考查要点：本题主要考查一阶微分方程的变量替换解法，特别是通过恰当的变量代换将方程转化为可分离变量或线性方程的能力。

解题核心思路：
对于形如$\dfrac{dy}{dx} = f(x+y)$的方程，通常采用代换$u = x + y$，将方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。通过求导得到$du/dx = 1 + f(u)$，进而分离变量积分求解。

破题关键点：

1. 识别方程结构：右侧仅含$x+y$的组合，提示使用$u = x + y$代换。
2. 正确求导：代换后需对$u$求导，建立与原方程的关系。
3. 分离变量积分：将方程整理为$\dfrac{du}{1+u^2} = dx$，积分后回代变量。

第（1）题

方程：$\dfrac{dy}{dx} = (x + y)^2$

步骤1：变量代换

令$u = x + y$，则$\dfrac{du}{dx} = 1 + \dfrac{dy}{dx}$。
代入原方程得：
$\dfrac{du}{dx} = 1 + u^2$

步骤2：分离变量并积分

将方程改写为：
$\dfrac{du}{1 + u^2} = dx$
两边积分：
$\int \dfrac{1}{1 + u^2} du = \int dx \quad \Rightarrow \quad \arctan u = x + C$

步骤3：回代变量并解出$y$

将$u = x + y$代入，得：
$\arctan(x + y) = x + C$
取正切得：
$x + y = \tan(x + C) \quad \Rightarrow \quad y = \tan(x + C) - x$