2.2 某市为方便小学生上学,拟在新建的8个居民小区A1,A2,···A8增设若干所小-|||-学,经过论证知备选校址有B1,B2,··,,B6,它们能够覆盖的居民小区如表2.1所示。-|||-表2.1 校址选择数据-|||-备选校址 B1 B2 B3 B4 B5 B6-|||-覆盖的居民小区 A1,A5,A7 A1,A2,A5,A8 A1,A3,A5 A2,A4,A8 A3,A6 A4,A6,A8-|||-试建立一个数学模型,确定出最小个数的建校地址,使其能覆盖所有的居民小区。

关键思路：本题属于集合覆盖问题，需通过0-1整数规划模型求解。核心是最小化学校数量，同时确保每个居民小区被至少一个学校覆盖。

考查要点：

1. 建立变量：定义$x_i$表示是否在备选校址$B_i$建校（$x_i=1$表示建校，$x_i=0$表示不建校）。
2. 目标函数：最小化总建校数，即$\min \sum_{i=1}^6 x_i$。
3. 约束条件：每个居民小区至少被一个覆盖它的校址覆盖，例如$A_1$被$B_1,B_2,B_3$覆盖，对应约束$x_1 + x_2 + x_3 \geq 1$。

破题关键：根据表格中每个小区对应的覆盖校址，逐一列出约束条件，最终通过优化求解得到最小建校方案。

模型建立步骤

1. 定义变量

设$x_i$为0-1变量，若在$B_i$建校则$x_i=1$，否则$x_i=0$。

2. 目标函数

$\min \sum_{i=1}^6 x_i$

3. 约束条件

根据每个小区被覆盖的校址，列出约束：

• $A_1$：$x_1 + x_2 + x_3 \geq 1$（覆盖校址：$B_1,B_2,B_3$）
• $A_2$：$x_2 + x_4 \geq 1$（覆盖校址：$B_2,B_4$）
• $A_3$：$x_3 + x_5 \geq 1$（覆盖校址：$B_3,B_5$）
• $A_4$：$x_4 + x_6 \geq 1$（覆盖校址：$B_4,B_6$）
• $A_5$：$x_1 + x_2 + x_3 \geq 1$（覆盖校址：$B_1,B_2,B_3$）
• $A_6$：$x_5 + x_6 \geq 1$（覆盖校址：$B_5,B_6$）
• $A_7$：$x_1 \geq 1$（覆盖校址：$B_1$）
• $A_8$：$x_2 + x_4 + x_6 \geq 1$（覆盖校址：$B_2,B_4,B_6$）

4. 变量范围

$x_i \in \{0,1\}, \quad i=1,2,\dots,6$

模型求解

通过优化算法（如Matlab中的整数规划求解器）求解上述模型，得到最优解为在$B_1,B_4,B_5$建校。