求lim _(xarrow 3)dfrac (sqrt {x+1)-2}(x-3)

考查要点：本题主要考查分母趋近于0时的极限求解方法，特别是处理根号表达式导致的0/0型不定式极限。

解题核心思路：当直接代入导致0/0型不定式时，可通过分子有理化消除根号，将表达式化简为可直接代入的形式。

破题关键点：

1. 分子有理化：通过乘以分子的共轭表达式，将分子转化为多项式形式，从而约去分母中的零因子。
2. 化简后代入：约分后得到的表达式在$x=3$处连续，可直接代入计算。

步骤1：分子有理化
将分子$\sqrt{x+1} - 2$乘以共轭表达式$\sqrt{x+1} + 2$，分母同时乘以相同表达式：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {\sqrt {x+1}-2}{x-3} &= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}.\end{aligned}$

步骤2：化简分子
分子展开后为$x+1-4 = x-3$，与分母中的$x-3$约分：
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {1}{\sqrt{x+1}+2}.$

步骤3：代入计算
此时表达式在$x=3$处连续，直接代入得：
$\dfrac {1}{\sqrt{3+1}+2} = \dfrac {1}{2+2} = \dfrac {1}{4}.$