求导运算： =tan (x+y),

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，特别是对复合函数求导法则的应用，以及代数变形能力。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：将方程两边同时对$x$求导，注意$y$是$x$的函数，需使用链式法则。
2. 分离导数项：将含有$y'$的项移到等式一侧，提取公因子后解出$y'$。
3. 化简表达式：利用三角恒等式（如$1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta$）进一步简化结果。

破题关键点：

• 正确应用导数规则：$\frac{d}{dx}[\tan(u)] = \sec^2(u) \cdot u'$，其中$u = x + y$。
• 代数变形：将方程整理为关于$y'$的一元一次方程，避免计算错误。

对原方程$y = \tan(x + y)$两边同时关于$x$求导：

1. 左边求导：
   $\frac{dy}{dx} = y'$

2. 右边求导：

   • 外层函数$\tan(u)$的导数为$\sec^2(u)$，其中$u = x + y$。
   • 内层函数$u = x + y$的导数为$1 + y'$（因$y$是$x$的函数）。
   • 结合链式法则：
     $\frac{d}{dx}[\tan(x + y)] = \sec^2(x + y) \cdot (1 + y')$

3. 建立方程：
   $y' = \sec^2(x + y) \cdot (1 + y')$

4. 分离$y'$项：
   $y' - \sec^2(x + y) \cdot y' = \sec^2(x + y)$
   $y' \left[1 - \sec^2(x + y)\right] = \sec^2(x + y)$

5. 解出$y'$：
   $y' = \frac{\sec^2(x + y)}{1 - \sec^2(x + y)}$

6. 化简表达式（可选）：
   利用三角恒等式$1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta$，得：
   $y' = -\frac{\sec^2(x + y)}{\tan^2(x + y)}$