求函数 (x)=x(e)^x的单调区间和极值.

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，涉及导数的计算、导数符号分析以及极值判定。

解题核心思路：

1. 求导：使用乘积法则对函数$f(x)=x{e}^{x}$求导，得到$f'(x)$。
2. 求临界点：解方程$f'(x)=0$，找到可能的极值点。
3. 分析导数符号：通过数轴法划分区间，判断导数在各区间的符号，确定单调性。
4. 判定极值：根据导数在临界点处的符号变化，确定极值的存在性及类型。

破题关键点：

• 导数计算：正确应用乘积法则，注意$e^x$的导数仍为$e^x$。
• 临界点唯一性：利用$e^x > 0$的性质，快速确定临界点$x=-1$。
• 符号分析：通过测试点法判断导数在各区间的正负，从而确定单调性。

1. 求导数

函数$f(x)=x{e}^{x}$由$x$和$e^x$相乘构成，使用乘积法则：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^x + x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x).$

2. 求临界点

令$f'(x)=0$，即：
$e^x (1 + x) = 0.$
由于$e^x > 0$对任意$x$成立，故方程等价于：
$1 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1.$

3. 分析导数符号

将数轴分为两个区间：$(-\infty, -1)$和$(-1, +\infty)$，取测试点分析：

• 当$x \in (-\infty, -1)$时，取$x=-2$，则$1 + x = -1 < 0$，故$f'(x) = e^x (1 + x) < 0$，函数单调递减。
• 当$x \in (-1, +\infty)$时，取$x=0$，则$1 + x = 1 > 0$，故$f'(x) = e^x (1 + x) > 0$，函数单调递增。

4. 判定极值

在$x=-1$处，导数由负变正，因此该点为极小值点，极小值为：
$f(-1) = (-1) \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}.$