题目

(12) int_(1)^4(dx)/(1+sqrt(x));

(12) $\int_{1}^{4}\frac{dx}{1+\sqrt{x}};$

题目解答

答案

为了计算积分 $\int_{1}^{4}\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$，我们可以使用换元法。设 $u = \sqrt{x}$。那么，$u^2 = x$，对两边关于 $x$ 求导，得到 $2u \, du = dx$。 接下来，我们需要根据换元法调整积分的上下限。当 $x = 1$ 时，$u = \sqrt{1} = 1$。当 $x = 4$ 时，$u = \sqrt{4} = 2$。因此，积分变为： \[ \int_{1}^{4}\frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \int_{1}^{2}\frac{2u \, du}{1+u} \] 我们可以简化被积函数，通过将分子 $2u$ 除以分母 $1+u$。这给出： \[ \frac{2u}{1+u} = 2 - \frac{2}{1+u} \] 因此，积分变为： \[ \int_{1}^{2}\left(2 - \frac{2}{1+u}\right)du \] 我们可以将这个积分拆分为两个独立的积分： \[ \int_{1}^{2}2 \, du - \int_{1}^{2}\frac{2}{1+u} \, du \] 第一个积分很简单： \[ \int_{1}^{2}2 \, du = 2u \bigg|_{1}^{2} = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2 \] 第二个积分可以通过使用自然对数的换元法来求解。设 $v = 1+u$，那么 $dv = du$。当 $u = 1$ 时，$v = 2$。当 $u = 2$ 时，$v = 3$。因此，积分变为： \[ \int_{1}^{2}\frac{2}{1+u} \, du = 2\int_{2}^{3}\frac{1}{v} \, dv = 2\ln|v| \bigg|_{2}^{3} = 2\ln 3 - 2\ln 2 = 2\ln\left(\frac{3}{2}\right) \] 将所有部分放在一起，我们得到： \[ 2 - 2\ln\left(\frac{3}{2}\right) = 2 - 2\ln 3 + 2\ln 2 \] 因此，积分的值是： \[ \boxed{2 - 2\ln 3 + 2\ln 2} \]

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过换元法简化被积函数的能力，以及分式拆分的技巧。

解题核心思路：

  1. 选择合适的换元变量：观察到分母中的$\sqrt{x}$，令$u = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$u$的积分。
  2. 简化被积函数：通过代数变形，将分式拆分为多项式与简单分式的组合，便于积分。
  3. 逐项积分：分别计算拆分后的积分，最终合并结果。

破题关键点：

  • 换元法的正确应用，包括变量替换和积分上下限的调整。
  • 分式拆分技巧，将$\frac{2u}{1+u}$转化为$2 - \frac{2}{1+u}$，简化积分过程。

步骤1：换元法变量替换

设$u = \sqrt{x}$，则$u^2 = x$，对两边求导得$dx = 2u \, du$。
当$x = 1$时，$u = 1$；当$x = 4$时，$u = 2$。
原积分变为：
$\int_{1}^{4} \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \int_{1}^{2} \frac{2u \, du}{1+u}$

步骤2：简化被积函数

将分子$2u$拆分为与分母相关的表达式：
$\frac{2u}{1+u} = 2 - \frac{2}{1+u}$
因此，积分变为：
$\int_{1}^{2} \left( 2 - \frac{2}{1+u} \right) du$

步骤3：拆分积分并逐项计算

  1. 第一项积分：
    $\int_{1}^{2} 2 \, du = 2u \bigg|_{1}^{2} = 2(2) - 2(1) = 2$

  2. 第二项积分：
    设$v = 1+u$，则$dv = du$，积分上下限变为$v=2$到$v=3$：
    $\int_{1}^{2} \frac{2}{1+u} \, du = 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{v} \, dv = 2 \ln|v| \bigg|_{2}^{3} = 2(\ln 3 - \ln 2) = 2 \ln \frac{3}{2}$

步骤4：合并结果

将两部分结果相减：
$2 - 2 \ln \frac{3}{2} = 2 - 2 \ln 3 + 2 \ln 2$