题目
9.lim_(xto0)(sqrt(1+x)-1)/(sin x)=1（）bigcirc√●×
9.$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin x}=$
1（）
$\bigcirc$√
●×
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小替换：
- $\sqrt{1+x} - 1 \sim \frac{x}{2}$（由泰勒展开 $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$），
- $\sin x \sim x$。
原极限可化简为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
或使用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\cos x} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}
\]
答案：$\boxed{C}$