设函数f(x)连续，给出下列四个条件 (1)lim_(xto0)(|f(x)|-f(0))/(x)存在；(2)lim_(xto0)(f(x)-|f(0)|)/(x)存在； (3)lim_(xto0)(|f(x)|)/(x)存在；(4)lim_(xto0)(|f(x)|-|f(0)|)/(x)存在； 其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是 (A.)1. (B.)2. (C.)3. (D.)4.

为了确定哪些条件能得到“f(x)在x=0处可导”，我们需要分析每个条件并看它们是否意味着f(x)在x=0处的导数存在。f(x)在x=0处的导数定义为： \[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \] 让我们逐一分析每个条件： 1. $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x}$存在： - 如果 $f(0) > 0$，那么对于x足够接近0， $|f(x)| = f(x)$（因为f(x)连续且接近f(0)）。因此，极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f'(0)$。所以，这个极限存在意味着 $f'(0)$存在。 - 如果 $f(0) < 0$，那么对于x足够接近0， $|f(x)| = -f(x)$。因此，极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{-f(x) - f(0)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(0)}{x}$。这个极限存在并不一定意味着 $f'(0)$存在，因为 $f(x) + f(0)$的极限存在并不意味着 $f(x) - f(0)$的极限存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$。这个极限存在并不一定意味着 $f'(0)$存在，因为 $|f(x)|$的极限存在并不意味着 $f(x)$的极限存在（例如，考虑 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$）。 - 因此，这个条件并不总是意味着 $f(x)$在 $x=0$处可导。 2. $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - |f(0)|}{x}$存在： - 如果 $f(0) > 0$，那么 $|f(0)| = f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f'(0)$。所以，这个极限存在意味着 $f'(0)$存在。 - 如果 $f(0) < 0$，那么 $|f(0)| = -f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(0)}{x}$。这个极限存在并不一定意味着 $f'(0)$存在，因为 $f(x) + f(0)$的极限存在并不意味着 $f(x) - f(0)$的极限存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。这个极限存在意味着 $f'(0)$存在。 - 因此，这个条件并不总是意味着 $f(x)$在 $x=0$处可导。 3. $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在： - 如果 $f(0) \neq 0$，那么 $f(x)$在0附近不改变符号，所以 $|f(x)| = f(x)$或 $|f(x)| = -f(x)$。在任一情况下，极限 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在并不一定意味着 $f'(0)$存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$。这个极限存在并不一定意味着 $f'(0)$存在，因为 $|f(x)|$的极限存在并不意味着 $f(x)$的极限存在（例如，考虑 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$）。 - 因此，这个条件并不总是意味着 $f(x)$在 $x=0$处可导。 4. $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}$存在： - 如果 $f(0) > 0$，那么 $|f(0)| = f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x}$。对于x足够接近0， $|f(x)| = f(x)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f'(0)$。所以，这个极限存在意味着 $f'(0)$存在。 - 如果 $f(0) < 0$，那么 $|f(0)| = -f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| + f(0)}{x}$。对于x足够接近0， $|f(x)| = -f(x)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{-f(x) + f(0)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $-f'(0)$。所以，这个极限存在意味着 $f'(0)$存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$。这个极限存在并不一定意味着 $f'(0)$存在，因为 $|f(x)|$的极限存在并不意味着 $f(x)$的极限存在（例如，考虑 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$）。 - 因此，这个条件并不总是意味着 $f(x)$在 $x=0$处可导。 从分析中，我们看到只有条件(1)和(2)在 $f(0) \neq 0$时意味着 $f(x)$在 $x=0$处可导。然而，由于题目要求得到“f(x)在 $x=0$处可导”的条件个数，而条件(1)和(2)在 $f(0) = 0$时不一定意味着可导，我们得出结论，没有条件总是意味着 $f(x)$在 $x=0$处可导。 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。